granica ciągu

[Grzegorz t]

Proszę o pomoc w obliczeniu granicy tego ciągu

\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}(1-\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{(2n)^n}{n^{2n+2}}})^n}\)

[max]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty }\left(1 - \sqrt{\frac{1}{n^{2}} + \frac{(2n)^{n}}{n^{2n + 2}}}\right)^{n} =\\
= \lim_{n\to\infty } \left(1 - \sqrt{\frac{n^{n} + 2^{n}}{n^{n + 2}}}\right)^{n} =\\
= \lim_{n\to\infty } \left(\left(1 - \sqrt{\frac{n^{n} + 2^{n}}{n^{n + 2}}}\right)^{-\sqrt{\frac{n^{n+2}}{n^{n} + 2^{n}}}}\right)^{-\sqrt{\frac{n^{n} + 2^{n}}{n^{n}}}} = e^{-1}}\)

[Grzegorz t]

Mi wyszło tak:

\(\displaystyle{ (1-\sqrt{\frac{1}{n^2}(1+\frac{(2n)^n}{n^{2n}}})^n=(1-\frac{1}{n}\sqrt{1+(\frac{2n}{n^2})^n})^n=(1-\frac{1}{n}\sqrt{(1+\frac{2}{n})^n})^n}\), a stąd \(\displaystyle{ (1-\frac{e}{n})^n=(1-\frac{e}{n})^n=e^{-e}}\) przy \(\displaystyle{ n\rightarrow\infty}\)

[max]

Dla \(\displaystyle{ n > 1}\):
\(\displaystyle{ 1 + \left(\tfrac{2}{n}\right)^{n}\neq\left(1 + \tfrac{2}{n}\right)^{n}}\)
więc druga równość w Twoim rozumowaniu nie zachodzi.

[Grzegorz t]

Masz rację, pomieszały mi się te nawiasy. Dzięki