pole elipsy

[Lukas:)]

Znajdz pole elipsy danej wzorem \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1}\), a,b>0

[kapka1a]

możesz poprawić zapis ???

[ Dodano: 5 Czerwica 2007, 14:28 ]
\(\displaystyle{ y^2=b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2}\)

punkty przecięcia z osią x to a i b dlatego że

\(\displaystyle{ x^2=a^2=>x=a}\)
i analogicznie b

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}b^2-\frac{b^2x^2}{a^2}=...}\)

jak otrzymasz wynik to mnożysz przez 2 licząc tą całkę wyliczasz pole tylko nad osią x

[Nty]

Znajdz pole elipsy danej wzorem \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1}\), a,b>0

Jesli chodzi Ci o wyprowadzenie wzoru na pole elpisy, to robisz tak:
\(\displaystyle{ \int_{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1} d(x,y) \stackrel{\star}{=}}\)

podstawienie
\(\displaystyle{ \Psi: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\\
\Psi^{-1}:\left\{ \begin{array}{lll}x&=&at_1 \\y&=&bt_2 \end{array}\right.\\

\left| \Psi' \right|=ab\\

\stackrel{\star}{=}ab\int_{t_1^2+t_2^2=1} d(x,y)\stackrel{\star}{=}}\)
podstawienie
\(\displaystyle{ \Phi: (0,\infty) \times (0,2\pi )\rightarrow \mathbb R^2 \setminus \left\{(x, 0) \in \mathbb R^2: x \leq 0\right\}\\
\Phi^{-1}:\left\{ \begin{array}{lll}t_1&=&r\cos{\phi} \\t_2&=&r\sin{\phi} \end{array}\right.\\

\left| \Phi' \right|=r\\

\stackrel{\star}{=}ab\int_{0}^{2\pi} d\phi\int_{0}^{1}rdr=2ab\pi\int_{0}^{1}rdr=ab\pi}\)

czyli pole danej elipsy to \(\displaystyle{ ab\pi}\).