Pochodne cząstkowe

[vip_96]

Czy mógłby ktoś pomóc w obliczeniu:
pochodnej pierwszego rzędu: \(\displaystyle{ u=x\sqrt{y}+\frac{y}{\sqrt{x}}}\)
pochodnej drugiego rzędu: \(\displaystyle{ u=sin^{2}(2x+y)}\)

[luka52]

1.
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x} = \sqrt{y} - \frac{y}{2x^{\frac{3}{2}}}\\
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{x}{2 \sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{x}}}\)

[vip_96]

Dzięki za pierwsze zadanie
Czy mógłby ktoś obliczyć drugie?

[ Dodano: 26 Maj 2007, 21:39 ]
Czy mógłby ktoś sprawdzić czy poprawnie obliczyłem drugie zadanie
\(\displaystyle{ f_{xx}'(x,y)=-sin^{2}(2x+y)\cdot2}\)
\(\displaystyle{ f_{xy}'(x,y)=-sin^{2}(2x+y)\cdot2+1}\)
\(\displaystyle{ f_{yx}'(x,y)=-sin^{2}(2x+y)\cdot2+1}\)
\(\displaystyle{ f_{yy}'(x,y)=-sin^{2}(2x+y)\cdot1}\)

[artam]

Niestety, nie jest to dobrze.

\(\displaystyle{ f'_x(x,y)=4\sin (2x+y)\cos(2x+y)}\)
\(\displaystyle{ f'_y(x,y)=2\sin (2x+y)\cos(2x+y)}\)

i teraz drugiego rzędu:
\(\displaystyle{ f''_{xx}(x,y)=8\cos^2(2x+y)-8\sin^2(2x+y)=8\cos(4x+2y)}\)
\(\displaystyle{ f''_{yy}(x,y)=2\cos^2(2x+y)-2\sin^2(2x+y)=2\cos(4x+2y)}\)
\(\displaystyle{ f''_{xy}(x,y)=f''_{yx}(x,y)=4\cos^2(2x+y)-4\sin^2(2x+y)=4\cos(4x+2y)}\)

Pamiętaj o pochodnej złożenia:
\(\displaystyle{ [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)}\)