Cześć, mam taką całkę do policzenia
\(\displaystyle{ \int\limits_{R}^{ } e^{-x^{2}}dx}\)
No i zupełnie nie mam pomysłu jak to zrobić :/
Chciałam wykorzystać współrzędne biegunowe, ale trochę mi ze tak powiem nie wyszło :/
całka
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8297
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1814 razy
całka
\(\displaystyle{ I = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx\\
I^2 = \iint\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \,dx\,dy}\)
Przechodząc do współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ I^2 = \int\limits_{0}^{+\infty} e^{-r^2} 2 \pi r \,dr = \pi \int\limits_{0}^{+\infty} e^{-t} dt = \pi\\
I = \sqrt{\pi}}\)
Tak to skrótowo można mniej więcej przedstawić.
I^2 = \iint\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \,dx\,dy}\)
Przechodząc do współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ I^2 = \int\limits_{0}^{+\infty} e^{-r^2} 2 \pi r \,dr = \pi \int\limits_{0}^{+\infty} e^{-t} dt = \pi\\
I = \sqrt{\pi}}\)
Tak to skrótowo można mniej więcej przedstawić.
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8297
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1814 razy
całka
Można skorzystać ze wzoru przy wprowadzaniu współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta\\
\iint\limits_D f(x,y) \,\mbox{d}y = \iint\limits_{\Delta} \left( f(r \cos \theta, r \sin \theta) \right) r \, \mbox{d}r \, \mbox{d}\theta}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \,dx\,dy = \int\limits_0^{+\infty} \int\limits_0^{2\pi} re^{-r^2} \, \mbox{d}\theta \, \mbox{d}r = \int\limits_{0}^{+\infty} e^{-r^2} 2 \pi r \,\mbox{d}r = \ldots}\)
A teraz jak policzyć jakobian?
Bardzo prosto, np. tak:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc} \frac{\partial (r \cos \theta)}{\partial r}&\frac{\partial (r \cos \theta)}{\partial \theta}\\ \frac{\partial (r \sin \theta)}{\partial r}& \frac{\partial (r \sin \theta)}{\partial \theta} \end{array}\right| = \frac{\partial (r \cos \theta)}{\partial r} \frac{\partial (r \sin \theta)}{\partial \theta} - \frac{\partial (r \cos \theta)}{\partial \theta} \frac{\partial (r \sin \theta)}{\partial r} = \\ = \cos \theta r \cos \theta - (-r \sin \theta) \sin \theta = r \left( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \right) = r}\)
Stąd też jest to r we wzorze na przejście do współrzędnych biegunowych.
\(\displaystyle{ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta\\
\iint\limits_D f(x,y) \,\mbox{d}y = \iint\limits_{\Delta} \left( f(r \cos \theta, r \sin \theta) \right) r \, \mbox{d}r \, \mbox{d}\theta}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \,dx\,dy = \int\limits_0^{+\infty} \int\limits_0^{2\pi} re^{-r^2} \, \mbox{d}\theta \, \mbox{d}r = \int\limits_{0}^{+\infty} e^{-r^2} 2 \pi r \,\mbox{d}r = \ldots}\)
A teraz jak policzyć jakobian?
Bardzo prosto, np. tak:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc} \frac{\partial (r \cos \theta)}{\partial r}&\frac{\partial (r \cos \theta)}{\partial \theta}\\ \frac{\partial (r \sin \theta)}{\partial r}& \frac{\partial (r \sin \theta)}{\partial \theta} \end{array}\right| = \frac{\partial (r \cos \theta)}{\partial r} \frac{\partial (r \sin \theta)}{\partial \theta} - \frac{\partial (r \cos \theta)}{\partial \theta} \frac{\partial (r \sin \theta)}{\partial r} = \\ = \cos \theta r \cos \theta - (-r \sin \theta) \sin \theta = r \left( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \right) = r}\)
Stąd też jest to r we wzorze na przejście do współrzędnych biegunowych.