Zbieżność szeregu

[Calasilyar]

Zbadaj zbieżność szeregów:
a)
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2n+1}{3n+1}\right) ^{\frac{1}{2}n}}\)

b)
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}(\sqrt[n]{2}-1)}\)

c)
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot \log{n}}}\)

d)
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \ln \left( \frac{n^{2}+1}{n^{2}}\right)}\)

e)
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}}\)

z góry dziękuję za pomoc

[luka52]

ad a.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n+1}{3n+1} \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}} < 1}\)
Zbieżny

ad b.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( (-1)^n (\sqrt[n]{2}-1) \right) = 0\\
|u_{n+1}| - |u_n| = \sqrt[n+1]{2} - 1 - \sqrt[n]{2} + 1 = \sqrt[n+1]{2}- \sqrt[n]{2} \leq 0}\)
Zbieżny

ad c.
Patrz zad. 3.13 w Krysickim

[max]

c) Nie wiem jak jest u Krysickiego, ale możemy skorzystać z wzoru Lagrange'a, mianowicie:
ponieważ mamy:
\(\displaystyle{ (\log\log x)' = \frac{\log^{2} e}{x\log x}}\)
to:
\(\displaystyle{ \log\log (n + 1) - \log \log n = \frac{\log^{2} e}{c \log c}, \ c\in (n, n + 1)}\)
Dalej zauważmy, że:
\(\displaystyle{ \frac{\log^{2} e}{c \log c} }\)
A ponieważ szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 2}^{\infty} (\log \log (n + 1) - \log \log n) = \lim_{n\to\infty} (\log\log(n + 1) - \log\log 2)}\)
jest oczywiście rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\), to i rozpatrywany szereg, na mocy przytoczonej nierówności jest rozbieżny.

d)
Kryterium ilorazowe:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1 + \frac{1}{n^{2}})}{\frac{1}{n^{2}}} = 1}\)
i ze zbieżności szeregu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}}}\) wynika zbieżność badanego szeregu.

e)
Kryterium ilorazowe z szeregiem harmonicznym rozbieżnym:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{\frac{n + 1}{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{n}}} = 1}\)
rozpatrywany szereg jest rozbieżny.