wyznacz granice (pierwiastki)

[YYssYY]

wyznacz granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } \sqrt[n]{2^{n}+5^{n}+11^{n}}}\)


\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } \sqrt[n]{\frac{8^{n}+9^{n} }{12^n}}}\)

nie umiem z tego latexa jeszcze dobrze korzystać. proszę o pomoc krok po kroku, normalne granice umiem liczyć, ale z tymi pierwiastkami sobie nie radze.

[Piotrek89]

tw. o trzech ciągach:
\(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt[n]{2^{n}+5^{n}+11^{n}}}\)
\(\displaystyle{ 11 =\lim_{n\to\infty } \sqrt[n]{11^{n}} < \lim_{n\to\infty } a_{n} < \lim_{n\to\infty } \sqrt[n]{11^{n}+11^{n}+11^{n}} = 11}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } a_{n}=11}\)

2 podobnie

[setch]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \sqrt[n]{2^n+5^n+11^n}=\lim_{n \to }\sqrt[n]{11^n}\sqrt[n]{1+(\frac{5}{11})^n+(\frac{2}{11})^n}=11\cdot 1=1}\)

[YYssYY]

wynik sie zgadza. niestety mój umysł nadal tego nie rozumie. to wyglada jakby 3 wyraz 11^n wyciągnąć przed nawias. a potem nagle = 11. nie rozumiem. przepraszam. naprowadźcie mnie i wytłumaczcie jakie czynności należy zrobić w 2 przykładzie (wystarczy powiedzieć, nie oczekuje rozwiązania na tacy)

[setch]

W moim rozwiazaniu wyciagnalem \(\displaystyle{ 11^n}\) przed nawias, potem uzylem praw dzialan na pierwiastkach a dokladniej \(\displaystyle{ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ a=11^n}\) i \(\displaystyle{ b=1+(\frac{5}{11})^n+(\frac{2}{11})^n}\). Kolejno stwierdzam, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{11^n}=11}\) oraz wiem i stosuje regułe \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a}=1 \wedge a>0}\). Ponadto \(\displaystyle{ \forall_{n\in N_+} \sqrt[n]{1}=1}\)

[YYssYY]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{8^n+9^n / 12^n}=

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{8^n/12 +9^n/12^n}=

\lim_{n \to\infty } \sqrt[n]{17^n/12^n} ?}\)
nie to jest źle. musze zobaczyć prawidłowe rozwiązanie. jeden przykład to za malo.

ps. ma wyjść 0,75
dziekuję

[setch]

Jesli tam ma byc \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\sqrt[n]{8^n+\frac{9^n}{12^n}}}\) to wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to }\sqrt[n]{8^n+\frac{9^n}{12^n}}=\lim_{n \to }\sqrt[n]{8^n}\sqrt[n]{1+(\frac{9}{96})^n}=8\cdot 1=8}\)

[YYssYY]

całość przez 12. obiecuje że opanuje latexa

[setch]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty }\sqrt[n]{\frac{8^n+9^n}{12^n}}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{(\frac{8}{12})^n+(\frac{9}{12})^n}{1}}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(\frac{8}{12})^n+(\frac{9}{12})^n}=\lim_{n \to\infty }\sqrt[n]{(\frac{9}{12})^n}\sqrt[n]{(\frac{8}{9})^n+1}=\frac{9}{12}\cdot 1=\frac{3}{4}=0,75}\)

[YYssYY]

dzieki. zrozumiałem.

[max]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{8^n+9^n}{12^n}}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{(\frac{8}{12})^n+(\frac{9}{12})^n}{1}}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(\frac{8}{12})^n+(\frac{9}{12})^n}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(\frac{9}{12})^n}\sqrt[n]{(\frac{8}{12})^n+1}=\frac{9}{12}\cdot 1=\frac{3}{4}=0,75}\)

Ta trzecia równość jest podejrzana - po prawej powinno raczej być:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{(\tfrac{9}{12})^{n}}\cdot \sqrt[n]{(\tfrac{8}{12}\cdot \tfrac{12}{9})^{n} + 1}}\)
itd... wynik bez zmian.

[setch]

poprawione