Nierówność logarytmiczna

[LySy007]

\(\displaystyle{ \log_{(x+1)}{(x^{2}+x-6)^2}\geqslant4}\)

Wiem jak rozwiązać tą nierówność. Ale mam pewne pytanie. Umiem to zrobić, ale wychodzi tam \(\displaystyle{ x^{4}}\), co prawda da się to skrócić ale i tak zostaje \(\displaystyle{ x^{3}}\). Rozwiązanie 3 stopnia nie stanowi dla mnie problemu. Ale ... Po co tracić niepotrzebnie czas. Nie widzę sposobu, żeby uniknąć rozwiązywania tej nierówności 3 stopnia, a na pewno się da. Może wy to zauważacie.

Bardzo proszę o pomoc.

[Lady Tilly]

Musisz dwa przypadki rozpatrzeć odnośnie podstawy - to podstawa.
Przekształcasz do postaci
\(\displaystyle{ \log_{(x+1)}(x^{2}+x-6)^{2}\geqslant\log_{(x+1)}(x+1)^{4}}\)

[LySy007]

Ale przecież ja to wiem. W moim poście napisałem o co mi chodzi. Rozwiązać to umiem, tylko szukam łatwiejszego sposobu.

[max]

Skąd to \(\displaystyle{ x^{3}}\) Ci się wzięło?

\(\displaystyle{ \log_{x+1}(x^{2} + x - 6)^{2} = \frac{\log (x^{2} + x - 6)^{2}}{\log (x + 1)} \geqslant 4}\)

Dla \(\displaystyle{ x \geqslant 2}\) jest \(\displaystyle{ \log(x + 1) \geqslant 0}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2} + x - 6 \geqslant 0}\) w związku z czym możemy dokonać następujących przekształceń na nierówności równoważne z wyjściową:
\(\displaystyle{ \log (x^{2} + x - 6)^{2} \geqslant 4\log (x + 1)\\
2\log |x^{2} + x - 6| \geqslant 4\log (x + 1)\\
\log (x^{2} + x - 6) \geqslant \log(x + 1)^{2}\\
x^{2} + x - 6 \geqslant (x + 1)^{2}}\)
itd..

Dla \(\displaystyle{ x \in (0, 2)}\) analogicznie, przy czym:
\(\displaystyle{ \log(x + 1) \geqslant 0}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2} + x - 6 < 0}\), czyli otrzymamy:
\(\displaystyle{ -x^{2} - x + 6 \geqslant (x + 1)^{2}}\)

A dla \(\displaystyle{ x \in (-1, 0)}\) jest:
\(\displaystyle{ \log(x + 1) < 0}\) oraz \(\displaystyle{ x^{2} + x - 6 < 0}\)
i mamy:
\(\displaystyle{ -x^{2} - x + 6 \leqslant (x + 1)^{2}}\)

edit niepotrzebnie domknąłem jeden przedział.

[Lady Tilly]

Skąd to \(\displaystyle{ x_{3}}\)Ci się wzięło?

też się nad tym zastanawiałam

...i mamy:
\(\displaystyle{ -x^{2} - x + 6 \leqslant (x + 1)^{2}}\)

tak powinno być, nieprawdaż?

[LySy007]

\(\displaystyle{ \log_{(x+1)}(x^{2}+x-6)^{2}\geqslant\log_{(x+1)}(x+1)^{4}}\)

I teraz zrobiłem:

\(\displaystyle{ (x^{2}+x-6)^{2}\geqslant(x+1)^{4}}\)

Oczywiście znak z zależności od warunków, ale nie chce mi się wszystkiego pisać.

I z tej sytuacji nie dało się uniknąć \(\displaystyle{ x^{3}}\). \(\displaystyle{ x^{4}}\) jak pisałem w moim pierwszym poście dało się uniknąć. Ale i tak mi został ten \(\displaystyle{ x^{3}}\).

Nie miałem na to zadanie żadnego pomysłu.

[ Dodano: 27 Maj 2007, 10:46 ]
Max, wielkie dzięki, właśnie o takie rozwiązanie mi chodziło.