Układ równań drugiego stopnia z parametrem

[hihopek]

Kiedy są 2 rozwiazania kiedy jedno a kiedy w ogole. Funkcja : \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=m\\y=x+4\end{cases}}\)

[ariadna]

Podstaw za y=x+4 do pierwszego i masz równanie kwadratowe z parametrem m, które ma dwa rozw, kiedy delta większa od 0 itd.

[Aramil]

ja bym to robil tak ze to y z drugiego rownania wstawiam do pierwszego i po przekształceniach otrzymuje:
\(\displaystyle{ 2x^{2} + 8x + 16 -m = 0}\) i zywkla dyskusja ilosci rozwiazan rownania kwadratowego
jednak nie jestem do konca pewny czy to jest dobrze

[max]

Można też, po odrzuceniu \(\displaystyle{ m \leqslant 0}\), dla których układ jest sprzeczny, potraktować pierwsze równanie jako równanie okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0, 0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{m}}\). Dalej policzyć odległość punktu \(\displaystyle{ (0, 0)}\) od prostej \(\displaystyle{ x - y - 4 = 0}\) i wyznaczyć, w zależności od długości promienia okręgu, ilość punktów wspólnych prostej z okręgiem.
Dla \(\displaystyle{ m = 8}\) jest jedno rozwiązanie (jeden punkt przecięcia),
dla \(\displaystyle{ m > 8}\) są dwa rozwiązania, a dla \(\displaystyle{ m < 8}\) jest 0 rozwiązań.

[hihopek]

max chyba masz racje a mozesz mi napisac rozwiazanie krok po kroku bo licze i mi jakies dziwne rzeczy wychodza. Prosze o odpowiedz.

[max]

A w czym dokładnie twi problem? Krok po kroku rozwiązałem powyżej, jedynie odległości punktu od prostej nie liczyłem formalnie, bo to widać... ale oczywiście można podstawić do wzoru:
\(\displaystyle{ d = \frac{|Ax_{0} + By_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}}\)
W naszym przypadku:
\(\displaystyle{ x_{0} = 0, \ y_{0} = 0, \\ A = 1, \ B = -1, \ C = -4}\)
czyli:
\(\displaystyle{ d = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}}\)

Jeszcze co do tych \(\displaystyle{ m\leqslant 0}\) - to układ ma dla takich wartości parametru 0 rozwiązań, gdyż jeśli \(\displaystyle{ m < 0}\), to pierwsze rówanie jest sprzeczne, bo dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y\in \mathbb{R}}\) jest:
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} \geqslant 0}\),
a jeśli \(\displaystyle{ m = 0}\), to z pierwszego równania:
\(\displaystyle{ x = 0, \, y = 0}\)
a liczby te nie spełniają drugiego równania.

Aha, przy okazji wypadałoby zauważyć, że powyżej zgubiłem pierwiastek przy obliczaniu ostatecznej wartości \(\displaystyle{ m}\) - teraz poprawiłem.

I to chyba tyle nieścisłości, ale jeśli jeszcze coś jest niejasne, to pytaj.