Zbadać zbieżność szeregu

[Calasilyar]

Prosiłbym o pomoc w zbadaniu zbieżności dwóch szeregów:
a)
\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{n+2}{2n^{3}-1}}\)
b)
\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}sin\frac{1}{n}cos\frac{1}{n}}\)

Przykład b) doprowadziłem do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sum\limits^{\infty}_{n=1}sin\frac{2}{n}}\)
ale dalej nie wiem, jak to ruszyć

[max]

a) zbieżny - porównaj poprzez kryterium ilorazowe ze zbieżnym \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\)
b) rozbieżny - kryterium ilorazowe z rozbieżnym \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2}{n}}\)

[Calasilyar]

hmm... nie znałem kryterium ilorazowego, ale teraz już znam dzięki

[Rogal]

Jak na moje krzywe oko, to i z porównawczego pójdzie, przez porównanie do wskazanych przez Maxa szeregów.

[max]

Pierwsze przez bezpośrednie porównanie rzeczywiście wyjdzie, ale drugie już niekoniecznie, bowiem \(\displaystyle{ \sin x < x, \ \mbox{dla} \ x > 0}\). Trzeba by wymnożyć szereg harmoniczny przez jakąś stałą \(\displaystyle{ c \in (0, \tfrac{1}{2})}\) i wyjaśnić, że dla dostatecznie dużych n będzie zachodzić
\(\displaystyle{ \frac{\sin \frac{2}{n}}{2} > \frac{2c}{n}}\),
gdyż
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2cx} = \frac{1}{2c} > 1}\)
co w zasadzie niewiele różni się od zastosowania kryterium ilorazowego.