Trudne zadanie:) Ciąg geo i aryt :)

[link.mk]

A więc tak:

Znajdź 3 liczby tworzące ciąg geometryczny, który mawłasność: jeśli do drugiej liczby dodamy 8, ciąg zmieni się na arytmetyczny, jeśli do ostatniego wyrazu nowego ciągu dodamy 64, ciąg znów stanie się geometryczny.

Kombinowałem i wyszedł mi układ:

b^2=ac
b+8=(a+c)/2
(b+8)^2=a(c+64)

i za nic w świecie nie mogę rozwiązać tego układu. Próbowałem też z a i q ale tez nic. Jak dacieradę to pomóżcie:)

Pozdrawiam.

[wb]

\(\displaystyle{ a, aq, aq^2}\) - szukane liczby,
\(\displaystyle{ a, aq+8, aq^2}\) - ciąg arytmetyczny, tzn.:
\(\displaystyle{ aq+8-a=aq^2-(aq+8) \\ a=\frac{16}{q^2-2q-1}}\)

\(\displaystyle{ a, aq+8, aq^2+64}\)- ciag geometryczny, tzn.:
\(\displaystyle{ \frac{aq+8}{a}=\frac{aq^2+64}{aq+8} \\ (aq+8)^2=a(aq^2+64)}\)

Wstaw wyzbnaczone powyżej a i rozwiąż równanie na q.

[Sylwek]

Ogranicz ilość zmiennych do dwóch, zobacz, że te wyrazy początkowego ciągu geometrycznego to: \(\displaystyle{ x, \ k x, \ k^{2} x}\) , gdzie k to ta stała, o którą przemnażamy każdy następny wyraz

Następnie wychodzą równania:

\(\displaystyle{ x + k^{2} x = 2 (k x + 8)}\)
\(\displaystyle{ \frac{k^{2} x + 64}{k x + 8} = \frac{k x + 8}{x}}\)

Dalej chyba dasz radę, chyba się nigdzie nie pomyliłem
Kurcze, znowu się spóźniłem, ale dopiero zaczynam z \(\displaystyle{ LaTeX}\)

[wb]

Wchodzi:
\(\displaystyle{ a=4 \ \ , \ \ q=3 a=\frac{4}{9} \ \ , \ \ q=-5}\)

więc szukane liczby to:
\(\displaystyle{ 4, \ \ 12, \ \ 36 \ \ \ \ \ \frac{4}{9}, \ \ \frac{-20}{9}, \ \ \ \frac{100}{9}}\)

[Lukasz_C747]

Pozwoliłem sobie opuścić część obliczeń

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} b^{2}=ac\\b+8=\frac{a+c}{2}\\(b+8)^{2}=a(c+64) \end{array}\right.\\

\left\{\begin{array}{l} b^{2}=ac\\b=\frac{a+c}{2}-8\\b^{2}+16b+64=ac+64a \end{array}\right.}\)
Teraz podstawiamy do ostatniego równania:
\(\displaystyle{ ac+16(\frac{(a+c)}{2}-8)+64 = ac+64a

c = 7a+8}\)
Teraz do drugiego równania:
\(\displaystyle{ b+8 = \frac{(a+c)}{2} = 4a+4

b = 4a-4}\)
I ponownie do ostatniego:
\(\displaystyle{ [(4a-4)+8]^{2} = a[(7a+8)+64)]

9a^{2}-40a+16 = 0

a = 4 lub a = 4/9}\)

Trzeci, no tak pisanie w Latexie jest niestety powolne

[link.mk]

Hmm dzięki wielkie już sobie dałem radę:P

Dziwne bo przedtem mi wychodziło to samo ale dopuki nie dowiedziałem się że ten układ jest "rozwiązywalny" to nie umiałem tego zrobić:) Tak więc dzięki

Ale mam jeszcze jedno zadanko :

Oblicz granicę:

an=(1+3+5+...+2n-1)/(2n-1)^2

Pozdrawiam:)

[wb]

\(\displaystyle{ 1+3+5+...+2n-1=\frac{1+(2n-1)}{2}\cdot n}\)

[link.mk]

Heh zmęczenie daje o sobie znać Przecież banalne było


Ale mam jeszcze jednen problem i chyba już ostatni

W trójkąt równoboczny o boku a wpisano koło, w które wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów koło itd. Oblicz:
a) długość promini b) obwodów c) pól

Nie wiem jaka jest zależność między tym promieniem a długością boku trójkąta

Pozdrawiam