Prosiłbym o pomoc w zbadaniu zbieżności dwóch szeregów:
a)
\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{n+2}{2n^{3}-1}}\)
b)
\(\displaystyle{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}sin\frac{1}{n}cos\frac{1}{n}}\)
Przykład b) doprowadziłem do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sum\limits^{\infty}_{n=1}sin\frac{2}{n}}\)
ale dalej nie wiem, jak to ruszyć
Zbadać zbieżność szeregu
- Calasilyar
- Użytkownik
- Posty: 2656
- Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 410 razy
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Zbadać zbieżność szeregu
a) zbieżny - porównaj poprzez kryterium ilorazowe ze zbieżnym \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\)
b) rozbieżny - kryterium ilorazowe z rozbieżnym \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2}{n}}\)
b) rozbieżny - kryterium ilorazowe z rozbieżnym \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2}{n}}\)
- Calasilyar
- Użytkownik
- Posty: 2656
- Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 410 razy
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Zbadać zbieżność szeregu
Pierwsze przez bezpośrednie porównanie rzeczywiście wyjdzie, ale drugie już niekoniecznie, bowiem \(\displaystyle{ \sin x < x, \ \mbox{dla} \ x > 0}\). Trzeba by wymnożyć szereg harmoniczny przez jakąś stałą \(\displaystyle{ c \in (0, \tfrac{1}{2})}\) i wyjaśnić, że dla dostatecznie dużych n będzie zachodzić
\(\displaystyle{ \frac{\sin \frac{2}{n}}{2} > \frac{2c}{n}}\),
gdyż
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2cx} = \frac{1}{2c} > 1}\)
co w zasadzie niewiele różni się od zastosowania kryterium ilorazowego.
\(\displaystyle{ \frac{\sin \frac{2}{n}}{2} > \frac{2c}{n}}\),
gdyż
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2cx} = \frac{1}{2c} > 1}\)
co w zasadzie niewiele różni się od zastosowania kryterium ilorazowego.