Na trójkącie równobocznym ABC opisano okrąg. Na łuku BC nie przechodzącym przez punkt A wybrano punkt P, różny od końców łuku. Odcinki AP i BC przecinają się
w punkcie K. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{|PK|} = \frac{1}{|PB}} + \frac{1}{|PC|}}\)
Udowodnij ze w okregu opisanym na trojkacie zachodzi ...
-
baksio
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 31 maja 2006, o 22:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość/Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 136 razy
Udowodnij ze w okregu opisanym na trojkacie zachodzi ...
kąt APB ma miarę 60 stopni
kąt APC ma miarę 60 stopni
kąt PCK jest taki sam jak kąt PAB \(\displaystyle{ 60-\beta}\)
kąt PBK jest taki sam jak kąt PAC \(\displaystyle{ \beta}\)
teraz z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ |PB|=2Rsin(60-\beta)}\)
\(\displaystyle{ |PC|=2Rsin\beta}\)
\(\displaystyle{ \frac{|PK|}{sin\beta}=\frac{|PB|}{sin(120-\beta)}}\)
przekształcamy i dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{|PK|}=\frac{sin(120-\beta)}{2Rsin(60-\beta)*sin\beta}}\)
a \(\displaystyle{ \frac{1}{|PB|}+\frac{1}{|PC|}=\frac{1}{2R}*(\frac{1}{sin(60-\beta)} + \frac{1}{sin\beta}) = \frac{1}{2R}(\frac{cos(\beta-30)}{sin(60-\beta)*sin\beta})=\frac{1}{2R}(\frac{sin(120-\beta)}{sin(60-\beta)*sin\beta})}\)
kąt APC ma miarę 60 stopni
kąt PCK jest taki sam jak kąt PAB \(\displaystyle{ 60-\beta}\)
kąt PBK jest taki sam jak kąt PAC \(\displaystyle{ \beta}\)
teraz z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ |PB|=2Rsin(60-\beta)}\)
\(\displaystyle{ |PC|=2Rsin\beta}\)
\(\displaystyle{ \frac{|PK|}{sin\beta}=\frac{|PB|}{sin(120-\beta)}}\)
przekształcamy i dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{|PK|}=\frac{sin(120-\beta)}{2Rsin(60-\beta)*sin\beta}}\)
a \(\displaystyle{ \frac{1}{|PB|}+\frac{1}{|PC|}=\frac{1}{2R}*(\frac{1}{sin(60-\beta)} + \frac{1}{sin\beta}) = \frac{1}{2R}(\frac{cos(\beta-30)}{sin(60-\beta)*sin\beta})=\frac{1}{2R}(\frac{sin(120-\beta)}{sin(60-\beta)*sin\beta})}\)