Zapewne bardzo proste pytanie.

[Riddel]

Witam.

Mam książkę,widzę jak jest przeprowadzana indukcja matematyczna,ale...

wygląda to tak.

Udowodnij , że dla każdego\(\displaystyle{ n N}\) \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n= \frac{n(n+1)}{2}}\)

Pierwszy krok indukcyjny.
Niech \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ L=1}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1(1+1)}{2} = 1}\) , czyli \(\displaystyle{ L=P}\)

Drugi krok indukcyjny. I tu się pojawia moje pytanie
\(\displaystyle{ k=n+1}\)
\(\displaystyle{ L = 1+2+3+...+n+(n+1)= \frac{(n+1)(n+2)}{2}}\)

Skąd się wzięło to \(\displaystyle{ +n+(n+1)}\)
Czy nie powinno być tylko \(\displaystyle{ (n+1)=}\) i to wszystko przecież podstawiamy za \(\displaystyle{ k=n+1}\), a to dla mnie wygląda jakbyśmy podstawili \(\displaystyle{ k= n+(n+1)}\) .

Nie rozumiem tego. Jakby ktoś chciał mi wytłumaczyć, nie jedynie wyśmiać to zapraszam. Punkt napewno dam


Pozdrawiam.

[wb]

Założenie indukcyjne:
wzór dla n=k, czyli:
\(\displaystyle{ 1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}}\)

Teza indukcyjna:
wzór dla n=k+1, czyli:
\(\displaystyle{ 1+2+3+...+k+1=\frac{(k+1)(k+2)}{2}}\)

Dowód tezy indukcyjnej:
\(\displaystyle{ L=1+2+3+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+k+1=\frac{k^2+k+2k+2}{2}=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=P}\)

[Tristan]

Odchodząc od metody indukcyjnej podam sposób na wyznaczenie sumy \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n}\). Niech \(\displaystyle{ S=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n}\). Czyli \(\displaystyle{ S=n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1}\). Zapisując te dwa równania pod sobą i dodając stronami ( każdy składnik sumujemy z tym pod nim) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 2S=(1+n)+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+...+[(n-2)+3]+[(n-1)+2]+(n+1)}\). Widzimy, że każde wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest równe \(\displaystyle{ n+1}\), a wszystkich składników jest \(\displaystyle{ n}\), więc \(\displaystyle{ 2S=n (n+1)}\), skąd \(\displaystyle{ S=\frac{ n(n+1)}{2}}\).

[Riddel]

Obaj się napracowaliście,ale ja nadal tego zabiegu nie rozumiem w indukcji matematycznej.
wb
w tezie indukcyjnej , dla n=k+1 , jest \(\displaystyle{ 1+2+3+..+k+1=}\) , ale w dowodzie tezy indukcyjnej jest już:
\(\displaystyle{ L = 1+2+3+...+k+(k+1) =}\)

tej zmiany nie rozumiem.

[wb]

Jest to to samo, tyle, że za pierwszym razem jest to suma zapisana przypomocy pierwszych trzech składników i ostatniego, zaś w drugim przypadku też trzy pierwsze ale oprócz ostatniego jest jeszcze przedostatni by było lepiej widać zastosowanie założenia indukcyjnego do dowodu tezy indukcyjnej.

[Riddel]

Już rozumiem, ale pustak ze mnie

Może dzięki Tobie zdam maturę

[wb]

Czego Ci bardzo życzę!!!!!