Wykaz nierownosc
- kolanko
- Użytkownik
- Posty: 1905
- Rejestracja: 9 gru 2006, o 14:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łańcut
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 172 razy
Wykaz nierownosc
Udowodnij ze dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c prawdziwa jest nierownosc :
\(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} qslant 2(a+b+c)}\)
Jakas podpowiedz ...
\(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} qslant 2(a+b+c)}\)
Jakas podpowiedz ...
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 25 mar 2007, o 16:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 2 razy
Wykaz nierownosc
PFloyd, czy mógłbyś od początku rozpisać ten dowód? Nie jestem jeszcze na takim poziomie matematyki i - szczerze mówiąc - w tym równaniu, które wyprowadziłeś nijak nie widzę związku z poleceniem zadania.PFloyd pisze:\(\displaystyle{ a^3+\frac{1}{a}-2a=a(a-\frac{1}{a})^2}\)
Z góry dzięki za wytłumaczenie.
- Uzo
- Użytkownik
- Posty: 1137
- Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
- Podziękował: 94 razy
- Pomógł: 139 razy
Wykaz nierownosc
Popatrz
a jest dodatnie , natomiast \(\displaystyle{ (a-\frac{1}{a})^{2}\geqslant 0}\) ponieważ coś do kwadratu nie może być ujemne.
czyli
\(\displaystyle{ a(a-\frac{1}{a})^{2}\geqslant 0}\)
i tak samo dla b i c
Jeśli tak wszystko zapiszesz to otrzymasz:
\(\displaystyle{ a(a-\frac{1}{a})^{2}+b(b-\frac{1}{b})^{2}+c(c-\frac{1}{c})^{2} qslant 0}\)
co jest prawdziwe dla a,b,c dodatnich
a jest dodatnie , natomiast \(\displaystyle{ (a-\frac{1}{a})^{2}\geqslant 0}\) ponieważ coś do kwadratu nie może być ujemne.
czyli
\(\displaystyle{ a(a-\frac{1}{a})^{2}\geqslant 0}\)
i tak samo dla b i c
Jeśli tak wszystko zapiszesz to otrzymasz:
\(\displaystyle{ a(a-\frac{1}{a})^{2}+b(b-\frac{1}{b})^{2}+c(c-\frac{1}{c})^{2} qslant 0}\)
co jest prawdziwe dla a,b,c dodatnich
Ostatnio zmieniony 11 maja 2007, o 23:36 przez Uzo, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Wykaz nierownosc
\(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} qslant 2a+2b+2c\\
a^{3} + \frac{1}{a}-2a + b^{3}+\frac{1}{b}-2b + c^{3}+ \frac{1}{c}-2c qslant 0\\
a(a-\frac{1}{a})^{2}+b(b-\frac{1}{b})^{2}+ c(c-\frac{1}{c})^{2}\geqslant 0\\
\forall a\in R_+\quad a(a-\frac{1}{a})^{2}\geqslant 0\\
\forall b\in R_+\quad b(b-\frac{1}{b})^{2}\geqslant 0\\
\forall c\in R_+\quad c(c-\frac{1}{c})^{2}\geqslant 0\\
\forall a,b,c R_+\quad a(a-\frac{1}{a})^{2}+b(b-\frac{1}{b})^{2}+ c(c-\frac{1}{c})^{2}+\geqslant 0\\}\)
Wystarczy?? POZDRO
a^{3} + \frac{1}{a}-2a + b^{3}+\frac{1}{b}-2b + c^{3}+ \frac{1}{c}-2c qslant 0\\
a(a-\frac{1}{a})^{2}+b(b-\frac{1}{b})^{2}+ c(c-\frac{1}{c})^{2}\geqslant 0\\
\forall a\in R_+\quad a(a-\frac{1}{a})^{2}\geqslant 0\\
\forall b\in R_+\quad b(b-\frac{1}{b})^{2}\geqslant 0\\
\forall c\in R_+\quad c(c-\frac{1}{c})^{2}\geqslant 0\\
\forall a,b,c R_+\quad a(a-\frac{1}{a})^{2}+b(b-\frac{1}{b})^{2}+ c(c-\frac{1}{c})^{2}+\geqslant 0\\}\)
Wystarczy?? POZDRO
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Wykaz nierownosc
Można też wprost skorzystać z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną otrzymując:
\(\displaystyle{ a^3 +b^3+c^3 + \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =(a^3+ \frac{1}{a})+ (b^3 + \frac{1}{b})+( c^3 + \frac{1}{c}) q 2 \sqrt{ a^3 \frac{1}{a} }+ 2 \sqrt{ b^3 \frac{1}{b} }+2 \sqrt{ c^3 \frac{1}{c} }=2( \sqrt{a^2} + \sqrt{b^2}+\sqrt{c^2})=2(a+b+c)}\)
\(\displaystyle{ a^3 +b^3+c^3 + \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =(a^3+ \frac{1}{a})+ (b^3 + \frac{1}{b})+( c^3 + \frac{1}{c}) q 2 \sqrt{ a^3 \frac{1}{a} }+ 2 \sqrt{ b^3 \frac{1}{b} }+2 \sqrt{ c^3 \frac{1}{c} }=2( \sqrt{a^2} + \sqrt{b^2}+\sqrt{c^2})=2(a+b+c)}\)