3-wyrazowe ciągi wybrane z {1,...,n} - ciąg malejący/rosn

[k_burza]

Ze zbioru wszystkich trójwyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru {1, 2, 3, ..., n } losujemy jeden ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania ciągu rosnącego lub malejącego.

zad.627 z II części Kiełbasy odp. to \(\displaystyle{ \frac{(n-2)(n-1)}{3n^2}}\)

[wb]

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=W_n^3=n^3 \\ \overline{\overline{A}}=\frac{V_n^3}{3}=\frac{n!}{3(n-3)!} \\ p(A)=\frac{\frac{n!}{3(n-3)!}}{n^3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{3n^3}=\frac{(n-1)(n-2)}{3n^2}}\)

[wazup]

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=\frac{V_n^3}{3}}\)

a może mi ktos powiedzieź czemu ta wariacja jest dzielona przez 3?

[k_burza]

załóżmy że wylosowaliśmy 3 różne liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) - dlatego jest wariacja bez powtórzeń, i między sobą załóżmy jeszcze że \(\displaystyle{ a>b>c}\). teraz możemy stworzyć z nich takie ciągi \(\displaystyle{ (a,b,c),(a,c,b),(b,c,a),(b,a,c),(c,a,b),(c,b,a)}\) więc na 6 ciągów które można zrobić z każdej wylosowanej trójki liczb, dwa są monotoniczne (u nas pierwszy i ostatni) \(\displaystyle{ (\frac{6}{3}=2)}\) tak więc \(\displaystyle{ V^3_n}\)też musimy machnąć przez 3