Szereg sinusa

[trzycenty]

Takie zadanie:

Pokazać ograniczoność szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(nx)}\) dla \(\displaystyle{ x \in [\frac{\pi}{6},\pi]}\)

i \(\displaystyle{ n\in\NN.}\)

Ma ktoś jakiś pomysł?

[Sir George]

Wykorzystaj wzór:
\(\displaystyle{ \sin\alpha\cdot\sin\beta\, =\, \frac12 \Big(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\Big)}\)

... a dokładniej przemnóż sumę \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{N}\sin(nx)}\) przez \(\displaystyle{ 2\sin\frac{x}2}\)...



Sorry za pomyłkę... już poprawiłem

[trzycenty]

Sir George, czy we wzorze nie powinno być sin(a/2)sin(b/2) ?

Chyba powinno. Dochodzę wtedy do takiego wyrażenia:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}cos(\frac{\pi}{2}-nx)-cos(\frac{\pi}{2}+nx)}\)

Nie bardzo mam na to teraz pomysł. Przekształcając doszedłem do tego, że

\(\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{2}-nx)=sin(nx)}\)

Szczera prawda przecie.
Nie mam pojęcia jak sobie poradzić z tym, że ten kąt tak wyskakuje sobie. Wniosek, że ten szereg jest mniejszy od
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}2}\)
nie daje mi nic. Z kilku kalkulacji wynika, że nie wybiega nawet za 4.

[max]

Kontynuując myśl którą przedstawił Sir George (pomijając tę drobną usterkę z niepotrzebnym dzieleniem przez 2):
\(\displaystyle{ \sin nx \sin \tfrac{x}{2} = \tfrac{1}{2}(\cos (nx - \tfrac{x}{2}) - \cos (nx + \tfrac{x}{2}))\\
\sin nx = \frac{\cos (n - \tfrac{1}{2})x - \cos (n + \tfrac{1}{2})x}{2\sin\tfrac{x}{2}}}\)
jednocześnie \(\displaystyle{ \cos (n + \tfrac{1}{2})x = \cos((n + 1) - \tfrac{1}{2})x}\)
więc jak podstawimy za \(\displaystyle{ \sin nx}\) to co uzyskaliśmy, to suma się ciut poredukuje...

[trzycenty]

Tak. To na razie najlepszy pomysł jaki jest.
Zatem w ∞ granicą sumy tego szeregu jest:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } \frac{cos\frac{1}{2}x-cos(n+\frac{1}{2}x)}{2sin\frac{x}{2}}}\)

i teraz pozostaje pokazać, że istnieje i jest równa...

Że Suma tego szeregu jest ograniczona da się pokazać, bo n-ta Suma:

\(\displaystyle{ |\frac{sin(\frac{n+1}{2}x)sin(\frac{nx}{2})}{sin\frac{x}{2}}|\le\frac{1}{sin\frac{\pi}{12}}\le4}\)

Ale jaka jest granica tego szeregu w nieskończoności, bo wydaje mi się że istnieje.

[ Dodano: 6 Maj 2007, 22:13 ]
Żadnych pomysłów?

[max]

W pewnym sensie dobrze Ci się wydaje. Widać, że granica nie istnieje np dla \(\displaystyle{ x = 1}\)... nietrudno też pokazać, że nie istnieje dla każdego \(\displaystyle{ x \pi}\) (dla którego jest równa 0) z podanego przedziału. Jednocześnie zbieżność nie jest nam potrzebna do orzekania o ograniczoności.

[trzycenty]

Jak więc pokazać dokładniej ograniczoność sumy tego szeregu.
Mam peweien pomysł z całką, ale w fazie chaotycznych prób na razie.
Bo z tej redukcji sumy na tą chwilę też więcej nie potrafię dostrzec.

[max]

W czym problem? Przecież pokazałeś już, że wszystkie wyrazy ciągu sum częściowych utożsamianego z szeregiem są ograniczone np przez 4...

[trzycenty]

Tak. To prawda, choć wydaje mi się, że jeszcze dokładniej można by to ograniczenie pokazać. Może uda mi się dojść do czegoś więcej, to dam znać.
Bardzo dziękuję za pomoc.