Zbieżność szeregów

[aina1000]

Zbadac zbieżność szeregów i znaleźć ich sumy
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{n(n+1)}}\)
b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{(3n-2)(3n+1)}}\)
proszę o pokazanie na tych przykładach o co chodzi w obliczaniu zbieżności szeregów, bo nie mam o tym zielonego pojęcia

[max]

Wystarczy skorzystać z definicji szeregu liczbowego:

a)
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n(n + 1)} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n\cdot (n + 1)}\right)}\)
Teraz zauważamy, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n\cdot (n + 1)}\right) =\\
= \lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right) =\\
= \lim_{n\to\infty } \left(1 - \frac{1}{n - 1}\right) = 1}\)

b) Analogicznie, zauważamy, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(3n - 2)(3n + 1)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n - 2} - \frac{1}{3n + 1}\right)}\)
Wyciągamy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) przed wszystkie składniki sumy, która ładnie się redukuje i dostajemy w rezultacie:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{(3n - 2)(3n + 1)} = \frac{1}{3}}\)

[aina1000]

a skąd \(\displaystyle{ \frac {1}{3}}\) przed nawiasem? Gdybyś mógł rozpisać ten drugi przykład byłabym bardzo wdzięczna

[max]

a skąd \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) przed nawiasem?

No to można zauważyć:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3n - 2} - \frac{1}{3n + 1} = \frac{3n + 1 - (3n - 2)}{(3n - 2)(3n + 1)} = \frac{3}{(3n - 2)(3n + 1)}}\)
czyli trzeba domnożyć razy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) żeby jedynka w liczniku była.

[aina1000]

Dzięki