1.Dla jakich wartości parametru a równanie \(\displaystyle{ \frac{cosx}{2} + \frac{cos^2x}{4} + \frac{cos^3}{8} + ... = a^2-2}\), którego lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego , ma rozwiązanie?
2..Rozwiąż nierówność: \(\displaystyle{ 2^{-sin3x} + 4^{-sin3x} + 8^{-sin3x} + ... q 1}\)
3.Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie \(\displaystyle{ sin2x - sin^32x + sin^52x - ... = m +m^2+m^3+...}\) ma rozwiązania?
szereg geometryczny
-
Przemkooo
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 24 sty 2007, o 23:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 56 razy
szereg geometryczny
W 1. Robie tak :
\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{cosx}{2} i q = \frac{cosx}{2}}\)
Później liczę sumę :\(\displaystyle{ S = \frac{\frac{cosx}{2}}{1- \frac{cosx}{2}}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ |q| q 1}\)
W tym miejscu sie zacinam bo nie wiem jak to przekształcić.
3.\(\displaystyle{ S = \frac{sin2x}{1-sin^22x} = \frac{m}{1-m}}\)
I co teraz?
\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{cosx}{2} i q = \frac{cosx}{2}}\)
Później liczę sumę :\(\displaystyle{ S = \frac{\frac{cosx}{2}}{1- \frac{cosx}{2}}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ |q| q 1}\)
W tym miejscu sie zacinam bo nie wiem jak to przekształcić.
3.\(\displaystyle{ S = \frac{sin2x}{1-sin^22x} = \frac{m}{1-m}}\)
I co teraz?
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2333
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
szereg geometryczny
Ad 1:
Z założenia na iloraz otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \cos x }\). Mamy równanie \(\displaystyle{ (a^2 -1) \cos x = 2(a^2 -2)}\). Dla \(\displaystyle{ a^2 -1=0}\) otrzymujemy równanie sprzeczne. Załóżmy, że \(\displaystyle{ a -1 a 1}\), a wtedy \(\displaystyle{ \cos x = \frac{ 2(a^2 -2) }{a^2 -1}}\). Masz więc do rozwiązania podwójną nierówność \(\displaystyle{ -1 q \frac{ 2(a^2 -2) }{a^2 -1} q 1}\). Jej rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a \cup < \sqrt{ \frac{5}{3}} ; \sqrt{3} >}\). Gdybyś miał jakiś problem z rozwiązaniem tej nierówności, to napisz konkretnie w którym miejscu.
Ad 2:
Skąd taki pomysł na iloraz? Poprawny to \(\displaystyle{ q=2^{ - \sin 3x}}\). Mają być więc spełnione następujące dwa warunki:
\(\displaystyle{ | 2^{- \sin 3x} | \frac{2^{- \sin 3x }}{1- 2^{- \sin 3x} } q 1 \\ -2 < 2^{ - \sin 3x } 2^{- \sin 3x} q 1 - 2^{- \sin 3x } \\ 2^{- \sin 3x} 2 2^{- \sin 3x} q 1 \\ 2^{-\sin 3x} 2^{- \sin 3x} q \frac{1}{2} \\ 2^{- \sin 3x} q \frac{1}{2} \sin 3x q 1 \\ \sin 3x=1 \\ 3x= \frac{ \pi}{2} + 2k \pi , k \mathbb{Z} \\ x= \frac{ \pi }{6} + \frac{2}{3} k \pi, k \mathbb{Z}}\)
Ad 3:
Przy założeniach, że \(\displaystyle{ |sin x| |a|< 1}\) mamy równanie \(\displaystyle{ \frac{ \sin x}{1+ \sin x}=\frac{a}{1-a}}\), które zapisujemy w postaci \(\displaystyle{ (1-2a) \sin x=a}\). Gdy \(\displaystyle{ 1-2a=0}\), to równanie jest sprzeczne. Założmy więc, że \(\displaystyle{ a \frac{1}{2}}\), a wtedy \(\displaystyle{ \sin x = \frac{a}{1-2a}}\). I tak jak w zadaniu pierwszym, masz do rozwiązania podwójną nierówność. Ostatecznym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a (-1 \frac{1}{3})}\), więc jeśli miałbyś gdzieś problem z dojściem do niego, to napisz w którym miejscu.
Z założenia na iloraz otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \cos x }\). Mamy równanie \(\displaystyle{ (a^2 -1) \cos x = 2(a^2 -2)}\). Dla \(\displaystyle{ a^2 -1=0}\) otrzymujemy równanie sprzeczne. Załóżmy, że \(\displaystyle{ a -1 a 1}\), a wtedy \(\displaystyle{ \cos x = \frac{ 2(a^2 -2) }{a^2 -1}}\). Masz więc do rozwiązania podwójną nierówność \(\displaystyle{ -1 q \frac{ 2(a^2 -2) }{a^2 -1} q 1}\). Jej rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a \cup < \sqrt{ \frac{5}{3}} ; \sqrt{3} >}\). Gdybyś miał jakiś problem z rozwiązaniem tej nierówności, to napisz konkretnie w którym miejscu.
Ad 2:
Skąd taki pomysł na iloraz? Poprawny to \(\displaystyle{ q=2^{ - \sin 3x}}\). Mają być więc spełnione następujące dwa warunki:
\(\displaystyle{ | 2^{- \sin 3x} | \frac{2^{- \sin 3x }}{1- 2^{- \sin 3x} } q 1 \\ -2 < 2^{ - \sin 3x } 2^{- \sin 3x} q 1 - 2^{- \sin 3x } \\ 2^{- \sin 3x} 2 2^{- \sin 3x} q 1 \\ 2^{-\sin 3x} 2^{- \sin 3x} q \frac{1}{2} \\ 2^{- \sin 3x} q \frac{1}{2} \sin 3x q 1 \\ \sin 3x=1 \\ 3x= \frac{ \pi}{2} + 2k \pi , k \mathbb{Z} \\ x= \frac{ \pi }{6} + \frac{2}{3} k \pi, k \mathbb{Z}}\)
Ad 3:
Przy założeniach, że \(\displaystyle{ |sin x| |a|< 1}\) mamy równanie \(\displaystyle{ \frac{ \sin x}{1+ \sin x}=\frac{a}{1-a}}\), które zapisujemy w postaci \(\displaystyle{ (1-2a) \sin x=a}\). Gdy \(\displaystyle{ 1-2a=0}\), to równanie jest sprzeczne. Założmy więc, że \(\displaystyle{ a \frac{1}{2}}\), a wtedy \(\displaystyle{ \sin x = \frac{a}{1-2a}}\). I tak jak w zadaniu pierwszym, masz do rozwiązania podwójną nierówność. Ostatecznym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a (-1 \frac{1}{3})}\), więc jeśli miałbyś gdzieś problem z dojściem do niego, to napisz w którym miejscu.
-
PanDragon
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 30 wrz 2006, o 14:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: śląskie
- Podziękował: 8 razy
szereg geometryczny
ad 3. : Dlaczego pominąłeś kwadrat w mianowniku? Mi tez wychodzi \(\displaystyle{ \frac{sin2x}{1 + sin^{2} 2x} = \frac{m}{1-m}}\) i nie umiem potem z tym nic mądrego zrobic..
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2333
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
szereg geometryczny
Pominąłem, bo źle przeczytałem treść zadania :] Ale idea jest dobra, więc po prostu wymnóż na krzyż, a otrzymasz równanie kwadratowe i podstaw \(\displaystyle{ t=\sin 2x}\) przy odpowiednich założeniach.
-
PanDragon
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 30 wrz 2006, o 14:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: śląskie
- Podziękował: 8 razy
szereg geometryczny
No własnie, wyszlo mi równanie kwadratowe \(\displaystyle{ mt^{2} + (m-1)t + m=0}\) i dalej zrobilam warunki, żeby \(\displaystyle{ t }\) ale wynik wyszedl mi zly, wiec moze warunki dalam zle? dałam że \(\displaystyle{ delta >0 \ \ mf(-1) qslant 0 \ \ mf(1) qslant 0 \ \ -1 qslant x_{w} qslant 1}\)