dowodzenie- ciąg geometryczny, arytmetyczny, logarytm

[Soniqa]

wykaż, że jeśli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, to ciąg o wyrazie ogólnym bn=log p an, dla p>0 i p≠1 jest ciągiem arytmetycznym. Jaki związek musi zachodzić między liczbą p a ilorazem q ciągu geometrycznego (an), aby ciąg (bn) był rosnacy?

_________
Popraw zapis, od tego jest TeX, od tego on jest!
jasny

[Vixy]

hm. troszke nie wyraznie to zapisalas

ma byc \(\displaystyle{ log(p*a_{n})}\) czy \(\displaystyle{ log(p) *a_{n}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}*q^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ b_{n}=log(p*a_{1}*q^{n-1})}\)
\(\displaystyle{ b_{n+1}-b_{n}}\)
\(\displaystyle{ log(p*a_{1}*q)-log(p*a_{1}*q^{n-1}=log\frac{a_{1}*p*q^{n}}{a_{1}*p*q^{n-1}}=logq}\)

\(\displaystyle{ q>0}\)
ja przyjechalm ze chodzilo ci , ze \(\displaystyle{ a_{n}=log(p*a_{n})}\) bo to bardziej prawdopodobne

[Soniqa]

no z zapisem mam niestety problemy. chodzi o (b z indeksem dolnym n)= log o podstawie p z (a z ind. dolnym n) - (an) i (bn) to ciągi

obiecuję, ze następnym razem się poprawię z zapisu

[soku11]

No wiec teraz robisz tak:
\(\displaystyle{ a_n- ciag\ geom,\ czyli:\\
\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\\
\\
b_n- ciag\ arytm,\ czyli:\\
b_{n+1}-b_{n}=const.}\)

I to trzeba udowodnic. Robisz wiec dalej:
\(\displaystyle{ log_pb_{n+1}-log_pb_n=logp\frac{a_{n+1}}{a_n}=log_pq=const\\
C.N.D.}\)

A zeby byl rosnacy to roznica musi byc dodatnia, czyli:
\(\displaystyle{ log_pq>0\\}\)

POZDRO

[Soniqa]

dzięki mam jeszcze pytanie do drugiej części zadania- o związek zachodzący między p i q, aby ciąg (bn) był rosnący.

aby ciąg był rosnący, log (p)q>0. tylko co dalej?

[soku11]

No to rozbijasz na dwa przypadki, gdyz p moze byc w dwoch przedzialach, a wiec:
\(\displaystyle{ p\in (0;1)\ \ \ \ p\in (1;+\infty)\\
qp^0\\
q1\\}\)

POZDRO