[Równania funkcyjne] Zadanko z konkursu z PW

[kimilo]

Miałem oto takie zadanie w ostatnim etapie :

Znajdź wszystkie funkcje f:R->R spełniające warunek f(ax)=af(x) dla kazdego \(\displaystyle{ x \in R}\) i dla kazdego \(\displaystyle{ a \ge 0}\)

Zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ x=1 \\
f(a)=a*f(1) \ \rightarrow \ f(x)=x*f(1)}\)

\(\displaystyle{ f(1) \in R \ f(1)=b}\)

\(\displaystyle{ f(x)=b*x}\)

a więc wszystkim funkcjami spełniającymi warunki podane w zadaniu są funkcje postaci f(x)=bx
Jaki jest bład w moim rozumowaniu? bo niestety nie wiem... (rozwiązanie zostało ocenione na 1 pkt. :/)

[kolanko]

mi sie wydaje ze moze byc np tak :
\(\displaystyle{ x=0}\)
potem ze \(\displaystyle{ x \in R}\) oraz \(\displaystyle{ a=1}\)
i pewno jest jeszcze jakis przypadek ...

[kimilo]

ale co jest źle w moim rozwiązaniu? tak analizując wydaje mi się, że faktycznie tylko funkcja liniowa spełnia wymagania podane w zadaniu, błędu w swoim toku myślenia znaleźć nie mogę.

[max]

\(\displaystyle{ a qslant 0}\)
zatem trzeba jeszcze coś powiedzieć o wartościach dla argumentów ujemnych.

[kimilo]

nie rozumiem po co coś mówić o wartościach dla argumentów ujemnych?

[max]

Jest napisane że dla \(\displaystyle{ b \in R}\)

ok, racja

i nie rozumiem po co coś mówić o wartościach dla argumentów ujemnych?

bo jak na razie to co napisałeś stosuje się tylko do \(\displaystyle{ x}\) nieujemnych...

[kimilo]

fakt.... kurde masz racje teraz zauważyłem, że jeszcze jest jedna funkcja spełniająca warunki.

Pozdrawiam

[Sir George]

teraz zauważyłem, że jeszcze jest jedna funkcja spełniająca warunki

kimilo, masz na myśli \(\displaystyle{ f(x)=f(1)\cdot \big|x\big|}\) ?