Ciąg geometryczny

[Przemkooo]

Mam dwa zadania:

1. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{(sin\alpha + cos\alpha)^n}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha }\). Dal jakich wartości \(\displaystyle{ \alpha}\) ciąg jest zbieżny?


2.Znajdź wzór na sumę \(\displaystyle{ S_{n}(x) = 1+2x+3x^2+4x^3 + ... + nx^{n-1}}\)

[Tristan]

Ad.1
Korzystając z faktu, że ciąg geometryczny \(\displaystyle{ (a_{n} )}\) jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ |q| q=1}\) otrzymujemy alternatywę warunków:
\(\displaystyle{ ( ( 0 ; 2 \pi) | \frac{1}{ \sin + \cos } | \cup ( \pi ; \frac{3}{2} \pi )}\).

Ad.2
\(\displaystyle{ S_{n} (x)= 1+2x + 3x^2+ 4x^3+... + nx^{n-1} = (1+x+x^2+ ... +x^{n-1} ) +(x+x^2 + ... + x^{n-1} ) + .... + ( x^{n-2} + x^{n-1} )+ x^{n-1}= 1 \frac{ 1-x^n }{ 1-x} + x \frac{ 1-x^{n-1} }{1-x} + ... + x^{n-2} \frac{ 1-x^2}{1-x} + x^{n-1} \frac{1-x}{1-x} = \frac{1}{1-x} [ 1-x^n +x(1-x^{n-1} )+... + x^{n-2} (1-x^2) + x^{n-1} (1-x) ] = \frac{1}{1-x} ( 1-x^n +x - x^n +x^2 - x^n + .... + x^{n-2} - x^n + x^{n-1} - x^n )= \frac{1}{1-x} ( 1+x+x^2 + ... +x^{n-1} - nx^n )= \frac{1}{ 1-x} \frac{1-x^n }{1-x} - \frac{ nx^n }{ 1-x} = \frac{ 1-x^n }{ (1-x)^2} - \frac{ (1-x) nx^n}{ (1-x)^2}= \frac{1-x^n - nx^n + nx^{n+1} }{(1-x)^2 }= \frac{ x^n ( nx -n-1) +1 }{ (1-x)^2 }}\)

[mol_ksiazkowy]

ad1 wsk:
\(\displaystyle{ -1 +cos \ } q 1}\)

[Majec]

ad1 wsk:
\(\displaystyle{ -1 +cos \ } q 1}\)

moglby ktos dopisac jeszcze rozwiazanie tego :/ ?? Mecze sie juz dobre kilka minut i wyszlo mi w obu nierownosciach \(\displaystyle{ sin2\alpha < 0}\) z czego wychodzi przedzial \(\displaystyle{ x\in}\) , a nie \(\displaystyle{ \alpha \in (0; \frac{ \pi}{2}> \cup ( \pi ; \frac{3}{2} \pi ) \cup {{2\pi}}}\) jak jest w odpowiedziach

[mol_ksiazkowy]

wsk. \(\displaystyle{ sin + cos = \sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4} - )}\)