szacuj

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^n j\sqrt{{n \choose j}} \leq \sqrt{2^{n-1}n^3}}\)

[przemk20]

Zauwazmy ze;
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^n j \sqrt{ n \choose j} = \sum_{j=0}^{[\frac{n}{2}]}( n) \sqrt{ n \choose j} \\
a_1 + a_2+ ... + a_n \leq n \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + ...+a_n^2}{n}} \\}\)
niech k = \(\displaystyle{ [\frac{n}{2}]}\)
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^k (n) \sqrt{ n \choose j} \leq \sqrt{ n^2 (k+1) \sum_{j=0}^k {n \choose j}} \leq \sqrt{n^3 2^{n-1}}}\)
bo
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^k {n \choose j} \leq \frac{1}{2} 2^{n} = 2^{n-1}}\)

[max]

Tam przy tym przejściu ze średnimi masz k + 1 a nie n składników sumy...

Poza tym ta tożsamość od której wychodzisz zachodzi tylko dla n nieparzystych.
Ogólniej:
\(\displaystyle{ \sum_{j = 0}^{n}j\cdot \sqrt{{n\choose j}} = \sum_{j = 0}^{\left\lfloor \frac{n - 1}{2}\right\rfloor} \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \sqrt{{n\choose j}} + \sum_{j = 0}^{\left\lceil \frac{n - 1}{2}\right\rceil} \left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \sqrt{{n\choose j}}}\)

[przemk20]

No racja, ale dla parzystego tez zachodzi, bo w przypadku n parzystym to liczba wyrazow jest niep., i sumuje skrajne wyrazy i zostawim srodkowy wolny czyli liczba skladnikow sumy(p) wynosi: i niech m=2k+1(l.wyr),
\(\displaystyle{ p = \frac{m-1}{2} + 1 = k+1 \ \ zas \\
p = [ \frac{m}{2}] +1= [k + \frac{1}{2} ] +1 = k+1}\)