wykaż

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ log_a \frac{a+b}{2} \geq log_{\frac{a+b}{2}} b}\)
a >1, b>1

[Lady Tilly]

\(\displaystyle{ \frac{1}{log_{\frac{a+b}{2}}}{\geqslant}log_{\frac{a+b}{2}}b}\)
\(\displaystyle{ 1{\geqslant}log_{\frac{a+b}{2}}b{\cdot}log_{\frac{a+b}{2}}a}\) jeśli \(\displaystyle{ a{\neq}b}\) i jeśli \(\displaystyle{ log_{\frac{a+b}{2}}b>1}\) to \(\displaystyle{ 0}\)

[bolo]

Niezbyt przemawia do mnie ten "dowód", lepiej wykorzystać ten fakt: \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}}\).

[mol_ksiazkowy]

tzn..?

[bolo]

Tzn. praktyczne zastosowanie mojej propozycji:

\(\displaystyle{ \log_{a}\left(\frac{a+b}{2}\right)>\log_{a}\sqrt{ab}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log_{a}{b} \\ \log_{b}\left(\frac{a+b}{2}\right)>\log_{b}\sqrt{ab}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log_{b}{a} \\ \\ \log_{a}\left(\frac{a+b}{2}\right)\geqslant\log_{\frac{a+b}{2}}{b} \\ \log_{a}\left(\frac{a+b}{2}\right)\geqslant\frac{1}{\log_{b}{\left(\frac{a+b}{2}\right)}} \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log_{a}{b}\geqslant\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log_{b}{a}} \\ \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log_{a}{b}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log_{b}{a}\right)\geqslant 1 \\ \log_{a}{b}+\log_{b}{a}\geqslant 2}\)

[max]

Tam słabe nierówności, bo nie zakładaliśmy, że \(\displaystyle{ a\neq b}\)

Można też tak:
\(\displaystyle{ \log_{\frac{a+b}{2}}a\cdot \log_{\frac{a+b}{2}}b \leqslant \left(\frac{\log_{\frac{a+b}{2}}a + \log_{\frac{a+b}{2}}b}{2}\right)^{2} =\\
=\left(\log_{\frac{a+b}{2}}\sqrt{ab}\right)^{2} \leqslant \left(\log_{\frac{a+b}{2}}\frac{a + b}{2}\right)^{2} = 1}\)

Bo z założeń mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a + b}{2} > 1\\
\sqrt{ab} > 1}\)