Kryterium różnowartościowości DOWóD

[roman_g]

Witam,

Mam do udowodnienia poniższe kryterium różnowartościowości:

Niech dana będzie funkcja \(\displaystyle{ f:(a,b) \to Y}\) różniczkowalna na przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\). Jeżeli dla dowolnego \(\displaystyle{ x_{0}\in (a,b)}\) mamy \(\displaystyle{ f'(x_{0})\ne 0}\) to \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa na przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\).


Wiem, że niezerowanie się pierwszej pochodnej pewnej funkcji w danym przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\) pociąga za sobą fakt braku ekstremum w tym przedziale i dalej z tego wynika różnowartościowość w tym przedziale, ale mi jest potrzebny bardziej precyzyjny dowód tego kryterium, taki krok po kroku - wszystko ładnie wyjaśnione.

Jak ktoś ma jakiś pomysł to z miłą chęcia się z nim zapoznam i będę wdzięczny za pomoc;)

Pozdrawiam

[Lorek]

Jak funkcja jest różniczkowalna na przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\), to jej pochodna jest ciągła na przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \forall_{x\in(a;b)}f'(x)\neq 0\Rightarrow (\forall_{x\in(a;b)}f'(x)>0\:\underline{\vee}\:\forall_{x\in(a;b)}f'(x)<0)}\) (taka trochę przekształcona własność Darboux), czyli funkcja na tym przedziale jest ściśle monotoniczna, a f. ścisle monotoniczna jest różnowartościowa.

[max]

Jak funkcja jest różniczkowalna na przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\), to jej pochodna jest ciągła na przedziale \(\displaystyle{ (a;b)}\)

nieprawda. Pochodna może nie mieć granicy w punkcie należącym do jej dziedziny, np pochodna takiej różniczkowalnej funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) =\left\{\begin{array}{l}x^{2}\sin\frac{1}{x}, \ x\neq 0\\ 0, \ x = 0\end{array}\right.}\)
ma nieciągłość w zerze.

Jednocześnie warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej w punkcie nie jest zależny od ciągłości pochodnej, wobec czego rozpatrywana funkcja jest ściśle monotoniczna na danym przedziale, czyli różnowartościowa. Czyli tak jak roman_g napisał w pierwszym poście...

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej w punkcie jest nazywany twierdzeniem Fermata (Fichtenholz "Rachunek różniczkowy i całkowy" [109]) i to kryterium jest jego bezpośrednią konsekwencją, więc do formalnego dowodu nie trzeba chyba nic więcej poza powołaniem się właśnie na to twierdzenie... ewentualnie możesz jeszcze przeprowadzić dowód tego twierdzenia (jak nie masz Fichtenholza to zobacz ).