mam taki szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n + n^2}{3^n + n^3}x^n}\)
wyszlo mi z kryterium d'Alemberta \(\displaystyle{ R= \frac{2}{3}}\)
Dobrze?
Promień zbieżności szeregu - sprawdznie
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3242
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Promień zbieżności szeregu - sprawdznie
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2^{n+1} + (n + 1)^{2}}{3^{n + 1} + (n + 1)^{3}}\cdot x^{n + 1}}{\frac{2^{n} + n^{2}}{3^{n} + n^{3}}\cdot x^{n}}=\\
=\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1} + (n + 1)^{2}}{3^{n + 1} + (n + 1)^{3}} \frac{3^{n} + n^{3}}{2^{n} + n^{2}}\cdot \frac{x^{n + 1}}{x^{n}} =\\
= \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1} + (n + 1)^{2}}{2^{n} + n^{2}} \frac{3^{n} + n^{3}}{3^{n + 1} + (n + 1)^{3}}\cdot x = \frac{2}{3}x\\
\left|\frac{2}{3}x\right| < 1\\
-\frac{3}{2}< x < \frac{3}{2}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ R = \frac{3}{2}}\)
=\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1} + (n + 1)^{2}}{3^{n + 1} + (n + 1)^{3}} \frac{3^{n} + n^{3}}{2^{n} + n^{2}}\cdot \frac{x^{n + 1}}{x^{n}} =\\
= \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1} + (n + 1)^{2}}{2^{n} + n^{2}} \frac{3^{n} + n^{3}}{3^{n + 1} + (n + 1)^{3}}\cdot x = \frac{2}{3}x\\
\left|\frac{2}{3}x\right| < 1\\
-\frac{3}{2}< x < \frac{3}{2}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ R = \frac{3}{2}}\)
Ostatnio zmieniony 14 kwie 2007, o 15:51 przez max, łącznie zmieniany 1 raz.
