całka

[tomgda]

\(\displaystyle{ \int \frac{x^3 -1}{x+1} dx =}\)

[waski]

rozłóż licznik - powinno się skrócić

[luka52]

\(\displaystyle{ = t ft(x^2 - x + 1 - \frac{2}{x+1} \right) \mbox{d}\,x = \ldots}\)
Dzielimy licznik przez mianownik.

[tomgda]

własnie coś mi nie wychodzi z rozłożeniem tego licznika bo w książce jes podany odrazu wynik i nie wiem dlaczego tak a nie inaczej Jak będzie wyglądało rozłożenie tego ?

[ Dodano: 13 Kwiecień 2007, 20:47 ]
właśnie luka52 mam takie coś ale dlaczego własnie tak że tylko przy ostatnim działaniu zostaje mianownik jak to sie skraca itd??

[luka52]

tomgda, W liczniku i mianowniku mamy wielomiany. Ponieważ wielomian z licz. jest stopnia wyższego niż w. z mian. dzielimy licznik przez mianownik tak jak się dzieli wielomiany:

\(\displaystyle{ (x^3 - 1) : (x+1) = x^2 - x + 1 \quad R: 2\\
x^3 + x^2\\
---------\\
. \quad -x^2 - 1\\
. \quad -x^2 -x\\
---------\\
. \quad . \quad \quad \quad x - 1\\
. \quad . \quad \quad \quad x + 1\\
---------\\
R = 2}\)
Zatem mamy to co napisałem wcześniej.

[przemk20]

Albo moze tez byc tak:
\(\displaystyle{ \frac{x^3-1}{x+1} = \frac{(x^3+1)-2}{x+1}=\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x+1} - \frac{2}{x+1} = x^2-x+1 - \frac{2}{x+1}}\)

[mat1989]

a może ktoś napisać jaki wyjdzie wynik z tej całej całki?

[luka52]

mat1989, korzystając ze standardowych wzorów otrzymamy:
\(\displaystyle{ I = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - 2 \ln{|x+1|} +C}\)