równanie różnicowe - niejasność

[Paweł]

Przepisze rozwiązany przykład z zeszytu, a ktoś miły wytłumaczy mi czemu tak a nie inaczej, ok?

\(\displaystyle{ y` = \frac{y}{x^2}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x^2}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x^2}}\) czyli \(\displaystyle{ \int\frac{1}{y}dy = t\frac{1}{x^2}dx}\) czyli \(\displaystyle{ ln|y| + C = -\frac{1}{x}}\)

Do tego momentu wszystko jest jasne. Nie rozumiem dalszych przekształceń

\(\displaystyle{ e^{in|y|+C} = e^{-\frac{1}{x}}}\) czyli \(\displaystyle{ ye^{C} = e^{-\frac{1}{x}}}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ y = e^{-\frac{1}{x}}}\)

WTH?

[luka52]

Może tak:
\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y} = t \frac{dx}{x^2}\\
\ln{|y|} = C - \frac{1}{x}\\
e^{\ln{|y|}} = e^{C - \frac{1}{x}}\\
y = e^C e^{- \frac{1}{x}}\\
y = C_1 e^{- \frac{1}{x}}}\)
Zastępujemy e^C inną stałą C_1.

Jeżeli nadal jest coś niejasne - pisz.

[Paweł]

ok, piszesz tak :

\(\displaystyle{ e^{ln|y|} = e^{C-\frac{1}{x}}}\)

-rozumiem.

dalej,

\(\displaystyle{ y = e^{C} e^{\frac{1}{x}}}\)

tu już nie nadążam ; co się stało z logarytmem ?

[luka52]

\(\displaystyle{ x = e^{\ln{x}}}\)
Korzystamy z tej równości

[Paweł]

to teraz już wszystko jasne. Dzięki.