Wykazać, że ciąg spełnia warunek

[Andrzejmm]

Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) określonego wzorem:
\(\displaystyle{ a_{n}=\sum_{n+1}^{2n}\frac{1}{n+1}}\)

spelniaja warunek \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\leqslant{a_{n}}<1.}\)

[przemk20]

a dobrze przepisales , bo ten ciag jest rosnacy i nieograniczony z gory

[Andrzejmm]

Jest dobrze, ten ciąg jest sumą wyrazów od \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}}\), do \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}}\).

[przemk20]

\(\displaystyle{ a_1=\frac{1}{2} \\
a_n=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ....+ \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = \\
=\frac{1}{2} + \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{2n(2n-1)}=
\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{2k(2k-1)}}\)
Widac ze ciag jest rosnacy i wiekszy badz rowny od 0.5
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{(2n(2n-1)} < \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{(k-1)k}=
\sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{k}- \frac{1}{k+1}}\)
Pozostaje pokazac dla dowolnie duzego n suma ta jest mniejsza od 1
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} =1- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} - ....-\frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = 1 \\}\)

[Andrzejmm]

Cytat:
\(\displaystyle{ a_n=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ....+ \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = \\
=\frac{1}{2} + \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{2n(2n-1)}=
\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{2k(2k-1)}}\)
Koniec cytatu.
Co do powyższego, wydaje mi się niezrozumiałe:
\(\displaystyle{ a_n=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}= (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....\frac{1}{2n})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}).}\)
Ale stawiam CI już punkta, bo z tego, co napisałeś udało mi się wysnować, że an

[przemk20]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k}- \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}= 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ .... +
\frac{1}{2n} - \frac{2}{2} - \frac{2}{4} - \frac{2}{6} - \frac{2}{8} - ....- \frac{2}{2n} = \\
1 + \frac{1}{2}-\frac{2}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + .... + \frac{1}{2n} - \frac{2}{2n} = 1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5}- .... - \frac{1}{2n}}\)
Teraz juz hyba jasne
aby udowodnic druga czesc to wystarczy pokazc ze ciag jest rosnacy:
\(\displaystyle{ a_{n+1} - a_n = \sum_{k=1}^{2n+2}\frac{1}{2k(2k-1)} - \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{2k(2k-1)} =\frac{1}{2n(2n+1)}+ \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} + \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{2k(2k-1)} - \sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{2k(2k-1)} =\frac{1}{2n(2n+1)}+ \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} > 0 \\}\)
czyli ciag jest rosnacy, zatem jesli
\(\displaystyle{ a_1 = \frac{1}{2}}\)
to ciag
\(\displaystyle{ an q \frac{1}{2}}\)

[Andrzejmm]

Tak, już objąłem okiem wszystkie promienie ducha Twego rozwiązania.

[ Dodano: 10 Kwiecień 2007, 17:28 ]
Mam jeszcze pewną wątpliwość. Jak zapisujesz ten ciąg w postaci:
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{2} + \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{2n(2n-1)}}\)
To wydaje mi się, że liczba wyrazów się zmniejszyła i wynosi n, wtedy:
\(\displaystyle{ a_{n}= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k(2k-1)}}\)

Tak mi się wydaje.

[max]

to ja zaproponuję inny sposób...
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{n}{2n}= \sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{1}{2n} \leqslant \sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{1}{k} \leqslant \sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n + 1} < 1}\)
c.b.d.o.


edit :literówka:

[Tomasz Rużycki]

To jeszcze inaczej.

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\ldots + \frac{1}{2n}\geq \frac{n^2}{n+1+n+2+\ldots + 2n}=\frac{n^2}{n^2+\frac{n(n+1)}{2}}}\) z AM-HM.

[Andrzejmm]

Max, no nie wiem, bo się nie mogę połapać w tym, co napisałeś np. pod sigmą n+1 a nad n, albo to:
\(\displaystyle{ \sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{1}{2n}}\)

Tomasz Rużycki
z AM-HM.->?
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\ldots + \frac{1}{2n}\geq \frac{n^2}{n+1+n+2+\ldots + 2n}}\)
Nie wiem z czego to wynika.

[Tomasz Rużycki]

Chodzilo mi o nierownosc miedzy srednia arytmetyczna a srednia harmoniczna.

[przemk20]

Oczywiscie masz racje moj bląd

[max]

Max, no nie wiem, bo się nie mogę połapać w tym, co napisałeś np. pod sigmą n+1 a nad n, albo to:
\(\displaystyle{ \sum_{k = n + 1}^{2n} \frac{1}{2n}}\)

Sorki za literówkę (tam oczywiście 2n nad sigmą).
Po prostu zastępujemy każdy składnik sumy najpierw składnikiem najmniejszym (aby otrzymać dolne szacowanie) a następnie składnikiem największym (aby otrzymać górne ograniczenie). Elementarniej się nie da.