Granice ciągów...

[ania2005]

\(\displaystyle{ d_{n}= \lim_{n\to } \frac{cos\frac{1}{n}}{n}}\)
\(\displaystyle{ e_{n}= \lim_{n\to } (\frac{2n - 3}{3n + 1})^2}\)
\(\displaystyle{ f_{n}= \lim_{n\to } (\frac{2^n - 1}{3^n + 2})^5}\)

[max]

pierwsze nawet z trzech ciągów \(\displaystyle{ 0}\) (licznik jest ograniczony przez \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ 1}\))
w drugim dzielisz licznik i mianownik przez n i wychodzi \(\displaystyle{ \frac{4}{9}}\)
w trzecim dzielisz licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 3^{n}}\) i wychodzi \(\displaystyle{ 0}\)

[ania2005]

To pierwsze da się inaczej niż z 3 ciągów?

[max]

z ciągłości funkcji cosinus wynika, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \cos \tfrac{1}{n} = \cos 0 = 1}\),
bo \(\displaystyle{ \tfrac{1}{n} \to 0}\).
stąd
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{\cos \tfrac{1}{n}}{n} = 0}\)

[ania2005]

A co w przypadku \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{sin n^2}{n}}\)? Liczyć to pochodną czy też mi coś z tego wynika? (chyba zbyt dawno temu skończyłam szkołę i wszystko mi wyleciało z głowy)

[max]

Licznik jest ograniczony (przez -1 i 1), więc można z trzech ciągów... z pochodną raczej nie wyjdzie.

[ania2005]

A jak to zrobić z trzech ciągów, bo szczerze mówiąc niby wiem jak, ale nie do końca to rozumiem?
Przy okazji taką granicę też najłatwiej wyliczyć z trzech ciągów i jak to zrobić?: \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sqrt[n]{3^{n} - 2^{n}}}\)

[max]

Dla \(\displaystyle{ n > 1}\) mamy
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\tfrac{1}{2}\cdot 3^{n}} < \sqrt[n]{3^{n} - 2^{n}} < \sqrt[n]{3^{n}}}\)

Ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\tfrac{1}{2}\cdot 3^{n}} = \lim_{n\to\infty}3\sqrt[n]{\tfrac{1}{2}} =3\\
\lim_{n\to }\sqrt[n]{3^{n}} = \lim_{n\to }3 = 3}\)
To jest też:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^{n} - 2^{n}} = 3}\)

[ania2005]

Myślałam, że przy odejmowaniu robi się to jakoś inaczej. A przy liczeniu \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{sin n^{2}}{n}}\) też mam coś dodać lub odjąć (do licznika lub mianownika czy całego wyrażenia)?

[max]

wystarczy tak ograniczyć:
\(\displaystyle{ \frac{-1}{n} \leqslant \frac{\sin n^{2}}{n} \leqslant \frac{1}{n}}\)

[ania2005]

Już zrobiłam, ale dziękuję