Wykaż, że przy każdej wartości parametru t ciąg\(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest rosnący.
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{1}=t\\a_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}^{2}+1\;\;\;dla\;n\geqslant{1}\end{cases}}\)
Wykazać, że ciąg jest rosnący
- Espeqer
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 28 lis 2013, o 20:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W-a
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 4 razy
Wykazać, że ciąg jest rosnący
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{1}=t\\a_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}^{2}+1\;\;\;dla\;n\geqslant{1}\end{cases}}\)
Mamy udowodnić, że \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n>0}\)
\(\displaystyle{ a_2= \frac{1}{2}t^2+1}\)
\(\displaystyle{ a_{2}-a_{1}=\frac{1}{2}t^2+1-t= \frac{1}{2}(t^2-2t+2)>0}\)
W razie czego: \(\displaystyle{ a>0}\) (współczynnik przy najwyższej potędze paraboli jest dodatni) oraz \(\displaystyle{ \Delta<0}\).
Mamy udowodnić, że \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n>0}\)
\(\displaystyle{ a_2= \frac{1}{2}t^2+1}\)
\(\displaystyle{ a_{2}-a_{1}=\frac{1}{2}t^2+1-t= \frac{1}{2}(t^2-2t+2)>0}\)
W razie czego: \(\displaystyle{ a>0}\) (współczynnik przy najwyższej potędze paraboli jest dodatni) oraz \(\displaystyle{ \Delta<0}\).