[Teoria liczb] Ułamek w postaci dziesiętnej skończonej

[mol_ksiazkowy]

nalezy teraz wyznaczyc wszystkie takie liczby naturalne, dla ktorych ulamek ponizszy mozna zapisac w postaci dziesietnej skonczonej...oraz podac dlan ow zapis


\(\displaystyle{ w=\frac{ 1}{ n^2+7n}}\)

[martaa]

Żeby dało się zapisać w w postaci dziesiętnej skończonej, mianownik musi być postaci:
\(\displaystyle{ n^2+7n=n(n+7)=2^k\cdot 5^l \ \ \ k,\ l\in \mathbb{N}}\)
Zatem: \(\displaystyle{ n=2^p\cdot 5^q}\)
\(\displaystyle{ n+7=2^r\cdot 5^s}\)

1) Jeśli ani p, ani q nie jest równe 0, to n jest podzielne przez 2 i 5, czyli n+7 nie jest podzielne ani przez 2, ani przez 5, czyli n+7=1, a to sprzeczność.

2) Jeśli ani r, ani s nie jest równe 0, to n+7 jest podzielne przez 2 i 5, czyli n nie jest podzielne ani przez 2, ani przez 5, czyli n=1. Podstawiając to n do naszego w, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ w=\frac{1}{8}=0,125}\)

3) Jeśli r=0, to \(\displaystyle{ n=5^q}\) \(\displaystyle{ n+7=2^r}\) czyli
\(\displaystyle{ 5^q+7=2^r}\)
Widzimy, że r>3, więc \(\displaystyle{ 8|5^q+7}\)
Ale dla q parzystych, \(\displaystyle{ 5^q \equiv 5 (mod8)}\) dla q nieparzystych \(\displaystyle{ 5^q \equiv 1 (mod8)}\), czyli q jest nieparzyste, a więc:
\(\displaystyle{ 2^r=5^q+7\equiv -1+7 \equiv 0(mod 3)}\) sprzeczność

4) Jeśli q=0, to \(\displaystyle{ n=2^p}\) i \(\displaystyle{ n+7=5^s}\) czyli
\(\displaystyle{ 2^p+7=5^s}\)
Widzimy, że s>1. czyli \(\displaystyle{ 5|2^p+7}\)
Ale \(\displaystyle{ 2^p\equiv -2 (mod5)}\) tylko dla \(\displaystyle{ p\equiv 3(mod4)}\), czyli p jest nieparzyste. A więc:
\(\displaystyle{ 5^s=2^p+7\equiv -1+7\equiv 0 (mod3)}\) sprzeczność

5) Jeśli r=0, dostajemy przypadek 4)

6) Jeśli s=0, dostajemy przypadek 3)

Jedyne rozwiązanie to n=1.

[Marcin88]

W przypadku 3) powinno być na odwrót z parzystością i nieparzystością q. To eliminuje rozwiązanie n=25.

[mol_ksiazkowy]

w=\(\displaystyle{ \frac{ 1}{ 25 *32}= \frac{ 1}{ 800} = 0. 00125}\)
w=\(\displaystyle{ \frac{ 1}{ 1 *8}= \frac{ 1}{ 8} = 0. 125}\)