[Ciągi] Równość dwóch sum

[alkamid]

Witam
Przepraszam, zapewne zamieszczone przeze mnie zadanie jest banalne, jednak jest to pierwsze zadanie w którym mam "udowodnić" więc są to dla mnie głębokie wody.

Udownodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a_{k}b_{k}=\sum_{k=1}^{n-1} (a_{k}-a_{k+1})*B_{k} + a_{n}B_{n} \\
gdzie \ B_{k}=\sum_{j=1}^{k} b_{j}, \ dla \ k=1,2,3,...,n}\)

Tak... łopatologicznie, s'il vous plait.

[PFloyd]

zauważ że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}(a_k-a_{k+1})=a_1-a_{n}}\)

[max]

Bardziej przyda się chyba to, że:
\(\displaystyle{ b_{k+1} = B_{k + 1} - B_{k}}\)

[alkamid]

Znalazłem to na Wikipedii:

\(\displaystyle{ S_N = a_0 b_0 + \sum_{n=1}^N a_n (B_n - B_{n-1}) \\
S_N = a_0 b_0 - a_1 B_0 + a_N B_N + \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_n - a_{n+1}) \\
S_N = a_N b_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)}\)

I dla mnie to nadal czarna magia. Na podstawie tego umiałbym przekształcić, ale nie wiedziałbym dlaczego tak, a nie inaczej.
Jest to po prostu mój pierwszy kontakt z tego typu zadaniami a ze względu na przerwę świąteczną nie mam kontaktu z moim nauczycielem. Jeśli komuś chce się rozpisać ten dowód z wytłumaczeniem, będę wdzięczny.

[adrian1]

dlaczego nikt nie napisał że to jest tożsamość Abela? łatwiej by było szukać w google znając nazwę
prosty dowód jest w wędrówkach po krainie nierówności

[max]

kolko-matematyczne-f64/rownania-tozsamo ... tml#p83260

sam nie wiem czemu nie podałem nazwy...

swoją drogą przez gugla ciężko znaleźć zgrabny dowód nawet w eng (http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=4283 na planetmath bawią się indukcją)

[MarcinT]

ależ ta równość jest oczywista... wystarczy otworzyć nawiasy i sie redukuje wszystko.