Witam, oto kilka zadań na obliczenie granicy ciągu.
Proszę o pomoc.
1) \(\displaystyle{ \lim_{x\to } \sqrt[3]{\frac{9^n-4^{n+1}}{9^{n+1}+5^n}}}\) - zaciąłem się już na początku.
2) \(\displaystyle{ \lim_{x\to }\sqrt[n]{4^n+\frac{1}{2}\cos(n!+n)}}\) - czy z twierdzenia o 3 ciągach??
3)\(\displaystyle{ \lim_{x\to }\frac{(n+2)4^n}{3n(5^n+1)}}\)
4)\(\displaystyle{ (\frac{6n^2+7}{9n^2+n})^n}\) - czy dążyć do e ?
Jeśli ktoś miał by ochote się rozruszać po świątecznym obżarstwie to zapraszam. Mile widzane choć częściowe rozpisania
Cztery zadania na granicę ciągu.
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Cztery zadania na granicę ciągu.
1)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{9^n-4^{n+1}}{9^{n+1}+5^n}}=\sqrt[3]{\frac{9^n-4\cdot 4^n}{9\cdot 9^n+5^n}}=\sqrt[3]{\frac{1-4(\frac{4}{9})^n}{9+(\frac{5}{9})^n}}--->\sqrt[3]{\frac{1}{9}}}\)
[ Dodano: 9 Kwiecień 2007, 18:53 ]
2)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{4^n+\frac{1}{2}cos(n!+n)}=\sqrt[n]{4^n(1+\frac{\frac{1}{2}cos(n!+n)}{4^n})}= \\ =4\cdot\sqrt[n]{1+\frac{\frac{1}{2}cos(n!+n)}{4^n}}--->4}\)
[ Dodano: 9 Kwiecień 2007, 18:57 ]
3)
\(\displaystyle{ \frac{(n+2)4^n}{3n(5^n+1)}=\frac{n+2}{3n}\cdot \frac{4^n}{5^n+1}=\frac{1+\frac{2}{n}}{3}\cdot \frac{(\frac{4}{5})^n}{1+\frac{1}{5^n}}--->\frac{1}{3}\cdot 0=0}\)
[ Dodano: 9 Kwiecień 2007, 19:17 ]
4)
\(\displaystyle{ (\frac{6n^2+7}{9n^2+n})^n=(\frac{6}{9}\cdot \frac{n^2+\frac{7}{6}}{n^2+\frac{n}{6}})^n=(\frac{2}{3})^n(\frac{n^2+\frac{n}{6}-\frac{n}{6}+\frac{7}{6}}{n^2+\frac{n}{6}})^n=(\frac{2}{3})^n(1+\frac{\frac{7-n}{6}}{n^2+\frac{n}{6}})^n= \\}\)
\(\displaystyle{ (\frac{2}{3})^n[(1+\frac{1}{\frac{6(n^2+\frac{n}{6})}{7-n}})^{\frac{6(n^2+\frac{n}{6})}{7-n}}]^{\frac{(7-n)n}{6(n^2+\frac{n}{6})}}--->0\cdot e^{-\frac{1}{6}}=0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{9^n-4^{n+1}}{9^{n+1}+5^n}}=\sqrt[3]{\frac{9^n-4\cdot 4^n}{9\cdot 9^n+5^n}}=\sqrt[3]{\frac{1-4(\frac{4}{9})^n}{9+(\frac{5}{9})^n}}--->\sqrt[3]{\frac{1}{9}}}\)
[ Dodano: 9 Kwiecień 2007, 18:53 ]
2)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{4^n+\frac{1}{2}cos(n!+n)}=\sqrt[n]{4^n(1+\frac{\frac{1}{2}cos(n!+n)}{4^n})}= \\ =4\cdot\sqrt[n]{1+\frac{\frac{1}{2}cos(n!+n)}{4^n}}--->4}\)
[ Dodano: 9 Kwiecień 2007, 18:57 ]
3)
\(\displaystyle{ \frac{(n+2)4^n}{3n(5^n+1)}=\frac{n+2}{3n}\cdot \frac{4^n}{5^n+1}=\frac{1+\frac{2}{n}}{3}\cdot \frac{(\frac{4}{5})^n}{1+\frac{1}{5^n}}--->\frac{1}{3}\cdot 0=0}\)
[ Dodano: 9 Kwiecień 2007, 19:17 ]
4)
\(\displaystyle{ (\frac{6n^2+7}{9n^2+n})^n=(\frac{6}{9}\cdot \frac{n^2+\frac{7}{6}}{n^2+\frac{n}{6}})^n=(\frac{2}{3})^n(\frac{n^2+\frac{n}{6}-\frac{n}{6}+\frac{7}{6}}{n^2+\frac{n}{6}})^n=(\frac{2}{3})^n(1+\frac{\frac{7-n}{6}}{n^2+\frac{n}{6}})^n= \\}\)
\(\displaystyle{ (\frac{2}{3})^n[(1+\frac{1}{\frac{6(n^2+\frac{n}{6})}{7-n}})^{\frac{6(n^2+\frac{n}{6})}{7-n}}]^{\frac{(7-n)n}{6(n^2+\frac{n}{6})}}--->0\cdot e^{-\frac{1}{6}}=0}\)