Zad. z matury grudzień 2005

[$!m@N]

Korzystając z zasady i. m., udowodnij, ze każda liczba naturalna \(\displaystyle{ n\geqslant5}\)

spełnia nierówność:

\(\displaystyle{ 2^{n}>n^2+n-1}\) .

Prosze o rozw., bo jakoś nie moge sobie z tym poradzić...

[Calasilyar]

spr.
\(\displaystyle{ 2^{5}>29\\
32>29}\)

założenie n=k
\(\displaystyle{ 2^{k}>k^{2}+k-1}\)

teza n=k+1
\(\displaystyle{ 2^{k+1}>(k+1)^{2}+k=k^{2}+3k+1}\)

dowód tezy:
\(\displaystyle{ 2^{k+1}>2(k^{2}+k-1)=2k^{2}+2k-2>k^{2}+3k+1=(k+1)^{2}+k\\
\mbox{a to przejscie bylo poniewaz: }\\
2k^{2}+2k-2>k^{2}+3k+1\\
k^{2}>k+3\\
k^{2}-k-3>0\\
k\in (-\infty;\frac{1-\sqrt{13}}{2})\cup (\frac{1+\sqrt{13}}{2};+\infty)\\
\frac{1+\sqrt{13}}{2}\approx 2,3\\
k\in (-\infty;\frac{1-\sqrt{13}}{2})\cup (\frac{1+\sqrt{13}}{2};+\infty) \;\wedge\; k\in }\)

[$!m@N]

THANK YOU VERY MUCH! qrde no wcale nie było to takie trudne ??: , jeszcze raz dzieki