rownanie z 47 OM

[Dave]

\(\displaystyle{ x^2(y-1) + y^2(x-1) = 1}\)
znalezc pary liczb calkowitych spelniajacych rownanie, pomocy skonczyly mi sie pomysly!

[max]

Przekształćmy do postaci:
\(\displaystyle{ xy(x + y) - (x + y)^{2} + 2xy = 1}\)
podstawmy:
\(\displaystyle{ t = xy\\
u = x + y}\)
i wyznaczmy z tego \(\displaystyle{ t}\) (nietrudno sprawdzić, że \(\displaystyle{ x + y -2}\)):
\(\displaystyle{ t = \frac{u^{2} + 1}{u + 2} = u - 2 + \frac{5}{u + 2}}\)
ponieważ musi być \(\displaystyle{ \frac{5}{u + 2} \in \mathbb{Z}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}u = 3 \\ t = 2\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}u = -1 \\ t = 2\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}u = -3 \\ t = -10 \end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}u = -7 \\ t = -10 \end{array}\right.}\)
i po chwili mamy rozwiązania:
\(\displaystyle{ (2, 1), (1, 2), (2, -5), (-5, 2)}\)
jeśli się po drodze nie machnąłem

[Dave]

pierwsze dwie pary nie pasuja gdyz musi byc zachowany warunek x>0>y , nie mniej jednak dzieki choc nie wiem jak zrobiles to przeksztalcenie z t

[max]

\(\displaystyle{ x^2(y-1) + y^2(x-1) = 1}\)
znalezc pary liczb calkowitych spelniajacych rownanie, pomocy skonczyly mi sie pomysly!

pierwsze dwie pary nie pasuja gdyz musi byc zachowany warunek x>0>y , nie mniej jednak dzieki

heh, no niestety nie jestem jasnowidzem
pozdro

[ Dodano: 8 Kwiecień 2007, 00:50 ]

choc nie wiem jak zrobiles to pierwsze przeksztalcenie

wymnożyłem a potem dodałem (i odjąłem) do wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy

[Dave]

sorki mialo byc przeksztalcenie z t a nie pierwsze to o nie pytalem

[max]

Od podstawienia:
\(\displaystyle{ tu - u^{2} + 2t = 1\\
t(u + 2) = u^{2} + 1\\
t = \frac{u^{2}+1}{u + 2} = \frac{u^{2} - 4 + 4 + 1}{u+2} = \frac{(u + 2)(u - 2) + 5}{u + 2} = u - 2 + \frac{5}{u + 2}}\)

mam nadzieję, że teraz już wygląda klarownie