Równanie rózniczkowe

[dejna]

1.\(\displaystyle{ x\frac{dy}{dx}-y= 2x^{3}}\).( linowe 1 go rzędu) tw.Cauchego.

2.\(\displaystyle{ y^{"}-4y^{'} + 4y =8x^{3}}\). ( liniowe 2 go rzędu).

[Kostek]

Ad 1. najpierw rownanie jednorodne \(\displaystyle{ x\frac{dy}{dx}-y=0}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{1}{y}dy}=\int{\frac{1}{x}dx}}\)
stad \(\displaystyle{ y=Cx}\). Metoda uzmienniania stalej mamy \(\displaystyle{ y=C(x)x}\) stad
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=C(x)+C^{'}(x)x}\) teraz \(\displaystyle{ y}\) oraz \(\displaystyle{ y^{'}}\) do rownania niejednorodnego \(\displaystyle{ x(C(x)+C^{'}(x)x)-C(x)x=2x^{3}}\)
stad \(\displaystyle{ C(x)=\int{2x}dx}\)
\(\displaystyle{ C(x)=x^{2}+C_{1}}\) stad ostatecznie \(\displaystyle{ y=x^{3}-C_{1}x}\)

Ad2.
Na poczatek rownanie jednorodne \(\displaystyle{ y^{''}-4y^{'}+4y=0}\)
Dla tego rownania rownanie charakterystyczne wynosi \(\displaystyle{ r^{2}-4r+4=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\) a wiec rozwiazanie bedzie postaci \(\displaystyle{ (C_{1}(x)+xC_{2}(x))e^{2x}}\)
Jest to calka ogolna. Natomiast calke szczegoolna:rozwiazanie jest postaci \(\displaystyle{ y=ax^{3}+bx^{2}+cx+c}\) obliczyc \(\displaystyle{ y{'} i y{"}}\) i wstawic do rownania niejednorodnego i policzyc wspolczynniki a,b,c,d.
Rozwiazanie=calka ogolna+calka szczegolna.