Przeprowadź dyskusję rozwiązywalności równania:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}=1}\)
Prosze o pomoc...
Dyskusja rozwiązywalności równania... :/
-
arecek
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 26 sty 2007, o 22:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 93 razy
Dyskusja rozwiązywalności równania... :/
x=1/2
a=0
b=1,5
\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{1}{2}-0} + \frac{1}{\frac{1}{2}-1,5} = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{-1} = 1}\)
\(\displaystyle{ 2 + -1 = 1}\)
Jesli nigdzie nie mam bledu to jest rozwiazywalne
a=0
b=1,5
\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{1}{2}-0} + \frac{1}{\frac{1}{2}-1,5} = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{-1} = 1}\)
\(\displaystyle{ 2 + -1 = 1}\)
Jesli nigdzie nie mam bledu to jest rozwiazywalne
-
rtuszyns
- Użytkownik
- Posty: 2031
- Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 229 razy
Dyskusja rozwiązywalności równania... :/
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}=1}\)
Doprowadzamy do równania kwadratowego postaci:
\(\displaystyle{ -x^2+(a+b+2)x-a-b-ab=0}\)
Teraz należy rozważyć przypadki znaków parametrów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
1) \(\displaystyle{ a=0}\), \(\displaystyle{ b=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta =4}\) Zatem dwa pierwiastki rzeczywiste będą istniały.
2) \(\displaystyle{ a=0}\), \(\displaystyle{ b0}\) Zatem dwa pierwiastki rzeczywiste będą istniały.
3) \(\displaystyle{ a=0}\), \(\displaystyle{ b>0}\)
\(\displaystyle{ \Delta =b^2+4>0}\) Zatem dwa pierwiastki rzeczywiste będą istniały.
itd.
Pomocna jest tabelka wyników:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c||c|c|c|}\hline
a\downarrow\quad b\rightarrow&+&0&-\\ \hline\hline
+&...&x_1,x_2\in\mathbb{R}&...\\ \hline
0&x_1,x_2\in\mathbb{R}&x_1,x_2\in\mathbb{R}&x_1,x_2\in\mathbb{R}\\ \hline
-&...&x_1,x_2\in\mathbb{R}&...\\ \hline
\end{array}}\)
Doprowadzamy do równania kwadratowego postaci:
\(\displaystyle{ -x^2+(a+b+2)x-a-b-ab=0}\)
Teraz należy rozważyć przypadki znaków parametrów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
1) \(\displaystyle{ a=0}\), \(\displaystyle{ b=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta =4}\) Zatem dwa pierwiastki rzeczywiste będą istniały.
2) \(\displaystyle{ a=0}\), \(\displaystyle{ b0}\) Zatem dwa pierwiastki rzeczywiste będą istniały.
3) \(\displaystyle{ a=0}\), \(\displaystyle{ b>0}\)
\(\displaystyle{ \Delta =b^2+4>0}\) Zatem dwa pierwiastki rzeczywiste będą istniały.
itd.
Pomocna jest tabelka wyników:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c||c|c|c|}\hline
a\downarrow\quad b\rightarrow&+&0&-\\ \hline\hline
+&...&x_1,x_2\in\mathbb{R}&...\\ \hline
0&x_1,x_2\in\mathbb{R}&x_1,x_2\in\mathbb{R}&x_1,x_2\in\mathbb{R}\\ \hline
-&...&x_1,x_2\in\mathbb{R}&...\\ \hline
\end{array}}\)