Kule i szuflady

[gig27]

Na ile sposobów można umieścić 5 nierozróżnialnych kul w trzech szufladach:
Czy będzie to wynik:
\(\displaystyle{ 3^{5}}\) ??

[K.Inc.]

Jesli chciales zastosować wariacje z powtorzeniami to byloby to \(\displaystyle{ 5^3}\), jednak to chyba nie jest poprawne rozwiazanie.
Jak dla mnie bedzie to:
\(\displaystyle{ C^{3}_{7}=\frac{7!}{3!*4!}=\frac{5*6*7}{1*2*3}=35}\)
W tym rozwiazaniu przyjmuje ze urny są rozróżnialne i można pozostawić pustą urnę.

[*Kasia]

Wypisywałam wszystkie możliwości po kolei (grunt to szybka metoda...) i wyszło mi 21 możliwych układów.
K.Inc., dlaczego zastosowałeś kombinacje? I dlaczego z 7?

[K.Inc.]

Hmm, no ja tez wypisalem wszystkie no i mam 21.

Juz wiem co zrobilem zle.
Mialo byc
\(\displaystyle{ C^{5}_{7}=\frac{7!}{5!*2!}=21}\)
Pomylilem ilosc urn i ilosc kul.
Przepraszam za blad.

[max]

K.Inc., dlaczego zastosowałeś kombinacje? I dlaczego z 7?

Zakładając, że \(\displaystyle{ x_{i}}\) to liczba kul w i-tej szufladzie, problem sprowadzamy do wyznaczenia liczby rozwiązań równania:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 = 5}\)
w liczbach całkowitych nieujemnych.
Ogólnie dla k rozróżnialnych urnszuflad i n nierozróżnialnych kul będzie \(\displaystyle{ {n + k - 1\choose k - 1} = {n + k - 1\choose n}}\) możliwych rozkładów.
Obrazowe wyjaśnienie jest np tu https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=21423