Równanie różniczkowe.Nie wiem jak to rozwiązać.
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} - xy=x}\)
Równanie rózniczkowe
-
rtuszyns
- Użytkownik
- Posty: 2031
- Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 229 razy
Równanie rózniczkowe
Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:
\(\displaystyle{ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}-xy=x}\)
\(\displaystyle{ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=x(1+y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{{\rm d}y}{1+y}=x{\rm d}x}\)
I całkujemy obustronnie:
\(\displaystyle{ \int\frac{{\rm d}y}{1+y}=\int x{\rm d}x}\)
Otrzymujemy zatem:
\(\displaystyle{ \ln |1+y|=\frac{x^2}{2}+{\cal C}_1}\)
\(\displaystyle{ e^{\ln |y+1|}=e^{\frac{x^2}{2}+{\cal C}_1}}\)
\(\displaystyle{ {\cal C}=e^{{\cal C}_1}}\)
Ostatecznie mamy:
\(\displaystyle{ 1+y={\cal C}e^{\frac{x^2}{2}}}\)
\(\displaystyle{ y={\cal C}e^{\frac{x^2}{2}}-1}\)
\(\displaystyle{ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}-xy=x}\)
\(\displaystyle{ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=x(1+y)}\)
\(\displaystyle{ \frac{{\rm d}y}{1+y}=x{\rm d}x}\)
I całkujemy obustronnie:
\(\displaystyle{ \int\frac{{\rm d}y}{1+y}=\int x{\rm d}x}\)
Otrzymujemy zatem:
\(\displaystyle{ \ln |1+y|=\frac{x^2}{2}+{\cal C}_1}\)
\(\displaystyle{ e^{\ln |y+1|}=e^{\frac{x^2}{2}+{\cal C}_1}}\)
\(\displaystyle{ {\cal C}=e^{{\cal C}_1}}\)
Ostatecznie mamy:
\(\displaystyle{ 1+y={\cal C}e^{\frac{x^2}{2}}}\)
\(\displaystyle{ y={\cal C}e^{\frac{x^2}{2}}-1}\)