Granica z cos i wykładnikiem n już raczej zrobione.

[Reaper]

\(\displaystyle{ x\in(0,\pi)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }n*cos^{n}x}\)

Co z tym zrobić? Zdaje mi się że 0, ale nie wiem czemu.

[martaa]

\(\displaystyle{ dla \ x (0;\pi ) \ |cosx| \\ \lim_{n\to }(n\cdot cos^nx)=\lim_{n\to }n\cdot \lim_{n\to }cos^nx=\lim_{n\to }n\cdot 0}\)

[Reaper]

Wiesz, to co napisałaś jest raczej oczywiste.
\(\displaystyle{ n^{n}*(1/n)}\) to też nieskończoność razy zero, ale po przekształceniu da się policzyć. Tutaj również powinno się dać. Widziałem kiedyś na forum podobny przykład, ale nie mogę go znaleźć.
Sądze, że udało mi się to zrobić. Jednak nie będe psuł zabawy i poczekam na prawidłowe rozwiązanie.

[Sir George]

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}(n\cdot\cos^nx)= \lim\limits_{n\to\infty}n\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\cos^nx}\)

Jest mały problem... twiedzenie o arytmetyce granic, z którego tu korzystasz, ma w założeniach istnienie skończonych granic każdego z ciągów, a tu niestety owy przypadek nie zachodzi...
Aczkolwiek Twoje rozwiązanie nie do końca jest pozbawione sensu...
Zróbmy mianowicie tak: połóżmy \(\displaystyle{ a_n\,=\, n \cos^nx}\)
Wówczas \(\displaystyle{ a_{n+1}\, =\, \big(1+\frac1n\big)\cos x\,a_n}\)
Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\), tj. \(\displaystyle{ n>N}\) dla pewnego \(\displaystyle{ N\in\mathbb{N}}\) mamy \(\displaystyle{ \big(1+\frac1n\big)\cos x\, }\)

[john.bravo]

Sir George a da sie to zrobić na poziomie liceum? albo chociaż bez szacowania?

[max]

Rozwiązanie, które przedstawił Sir George jest zgrabne (osobiście bardzo mi się podoba ) i nie wydaje mi się, aby do jego zrozumienia potrzebna była pozalicealna wiedza..

Ale jak zawsze można problem rozwiązać inaczej (bardziej hmm... 'typowo' ?), np:
Można skorzystać z tego, że dla \(\displaystyle{ c > 1}\):
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{n}{c^{n}} = 0}\)
szkic dowodu:
dla \(\displaystyle{ n \geqslant 2}\) mamy:
\(\displaystyle{ 0 {n \choose 2}(c - 1)^{2} \geqslant \frac{n^{2}(c - 1)^{2}}{4}\\
0 }\)
i z twierdzenia o trzech ciągach wynika co trzeba.

Dalej zapisujemy nasz ciąg w postaci:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n}{(\frac{1}{\cos x})^{n}}}\),
z powyższych rozważań wynika wtedy, że:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} |a_{n}| = \lim_{n\to \infty} \frac{n}{|\frac{1}{\cos n}|^{n}} = 0}\)
co pociąga za sobą \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_{n} = 0}\) ...


...można też skorzystać ze znanej w liceum (choć chyba bez dowodu, ale nie jest on trudny) granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1}\)
i z ciągłości funkcji logarytmicznej i wykładniczej.
Np
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}|a_{n}| = \lim_{n\to\infty}n|\cos x|^{n} = \lim_{n\to\infty}(\sqrt[n]{n}|\cos x|)^{n} = \lim_{n \to \infty}e^{n \ln (\sqrt[n]n\cdot |\cos x|)} = \\
= \lim_{x \to -\infty}e^{x} = 0}\)

[john.bravo]

no fajnie wszystko ok ale końcówka dla mnie nie jest oczywista, skąd pewność że to jest prawda? jakiś dowodzik?

[max]

Wskaż w którym dokładnie miejscu jest niejasne. (przedostatnia równość wynika z ciągłości funkcji logarytmicznej i funkcji wykładniczej)

[john.bravo]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } e^{(n\ln(\sqrt[n]{n}\cdot|cosx|)}=\lim_{x\to -\infty} e^x}\)
dla mnie to niejs oczywiste:/

[max]

Jest
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\sqrt[n]{n} = 1}\)
oraz (dla \(\displaystyle{ x (0, \pi)}\))
\(\displaystyle{ |\cos x| < 1}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}\cdot |\cos x| < 1}\)
zatem
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\ln(\sqrt[n]{n} |\cos x|) < 0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }n\ln(\sqrt[n]{n} |\cos x|) = -\infty}\)

[john.bravo]

no teraz lepiej rozumiem dzięki za wyjaśnienie ;]