Wyznacz zbiór wartości

[12345kkkk]

pomóżcie, cały dzień siedzę nad tą funkcją i nie mogę nic wymyślić \(\displaystyle{ f(x)=sin^{4}x(1+sin2x)^{2}}\)


Z góry dzięki

[garf99]

\(\displaystyle{ f(x)=\sin^4x(1 + \sin2x)^2}\)
\(\displaystyle{ \sin2x \in [-1,1] }\)
\(\displaystyle{ (1 + \sin2x)^2 \in [0,4]}\)
\(\displaystyle{ \sin^4x \in [0,1]}\)
\(\displaystyle{ y \in [0,4]}\)

[sztuczne zęby]

Dolną granicą zboru wartości będzie na pewno 0. Górną liczę ale nie zgadza się mi z rysunkiem. Ale wydaje mi się że takie zadania robi się raczej przez przekształcenia, a nie przez pochodną.

[baksio]

\(\displaystyle{ f(x)=sin^4x(sin^2x+2sinxcosx +cos^2x)^2}\)
\(\displaystyle{ f(x)=sin^4x(sinx+cosx)^4}\)
\(\displaystyle{ f(x)=sin^4x(\sqrt{2}cos(x-\frac{\pi}{4}))^4}\)
\(\displaystyle{ f(x)=4sin^4xcos^4(x-\frac{\pi}{4})}\)
\(\displaystyle{ f(x)=4(sinxcos(x-\frac{\pi}{4})^4}\)
\(\displaystyle{ f(x)=4[\frac{1}{2}[sin(\frac{\pi}{4}) + sin(2x-\frac{\pi}{4})]]^4}\) korzystam ze wzoru:
\(\displaystyle{ sinxcosy=\frac{1}{2}[sin(x-y)+sin(x+y)]}\)
Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}[sin(\frac{\pi}{4}) + sin(2x-\frac{\pi}{4})]}\) ma największą wartość równą \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}+2}{4}}\) Więc największa wartość \(\displaystyle{ f(x)}\) to:
\(\displaystyle{ 4(\frac{\sqrt{2}+2}{4})^4 = 4*\frac{68+48\sqrt{2}}{256} = \frac{17+12\sqrt{2}}{16}}\)

[12345kkkk]

ok, spoko, dzięki

[max]

\(\displaystyle{ \sin^{4} x (1 + \sin 2x)^{2}=\\
= (\sin x (\sin x + \cos x))^{4} =\\
= (\sin^{2} x + \sin x\cos x)^{4} = \\
= (-\tfrac{1}{2}\cos 2x + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\sin 2x)^{4} = \\
= \tfrac{1}{16}(\sin 2x - \cos 2x + 1)^{4} = \\
= \tfrac{1}{16}(\sqrt{2}\sin (2x - \tfrac{\pi}{4}) + 1)^{4} \leqslant \tfrac{1}{16}(\sqrt{2} + 1)^{4}}\)