\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n+3^n}{(n+2)4^n}}\)
Dochodzę do:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n+1}=-\frac{ln(1-x)}{x}}\)
Dalej nie mam pomysłów.
Oblicz sumę szeregu
-
Mapedd
- Użytkownik
- Posty: 299
- Rejestracja: 3 paź 2004, o 02:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wwa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 33 razy
Oblicz sumę szeregu
hmmmm....
\(\displaystyle{ \int x^{n+1}dx= \frac{x^{n+2}}{n+2}}\), myśle ze to sie bardziej przyda, musisz uzyc to dwa razy, tak mi sie bynajmniej wydaje na pierwszy rzut oka....
\(\displaystyle{ \int x^{n+1}dx= \frac{x^{n+2}}{n+2}}\), myśle ze to sie bardziej przyda, musisz uzyc to dwa razy, tak mi sie bynajmniej wydaje na pierwszy rzut oka....
-
Fanik
- Użytkownik
- Posty: 215
- Rejestracja: 18 gru 2006, o 16:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 23 razy
Oblicz sumę szeregu
Ok, mialem bezsenna noc wiec zrobilem
Odpowiedź wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{68\ln{2}}{9} - \frac{10}{3}}\)
Nalezy najpierw rozbic to na dwie sumy szeregow o wyrazach
1/((n+2)*2^n) oraz 1/((n+2)*(4/3)^n)
Nastepnie domnazamy kazdy z tych szeregow przez odpowiednia liczbe, aby w wykladniku takze pojawilo sie n+2
nastepnie zmieniamy granice sumowania od n=0 na n=2 (tylko zmiana napisu)
nastepnie zmieniamy granice sumowania z n=2 na n=1 (nalezy odjac pierwszy wyraz)
nastepnie mamy dwa szeregi postaci 1/(n*a^n)
tworzymy ich funkcje tworząca F(z) = suma z^n/(n*a^n), czyli
suma (z/a)^n / n
nastepnie obserwujemy ze funkcja -ln(1-x) rozwija sie w szereg suma x^n / n
wiec funkcja tworzaca tych szeregow bedzie -ln(1-z/a)
no i bierzemy wartosci funkcji tworzacych w punkcie z=1 aby otrzymac wartosc szeregu.
to tyle, dobrej nocy
Odpowiedź wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{68\ln{2}}{9} - \frac{10}{3}}\)
Nalezy najpierw rozbic to na dwie sumy szeregow o wyrazach
1/((n+2)*2^n) oraz 1/((n+2)*(4/3)^n)
Nastepnie domnazamy kazdy z tych szeregow przez odpowiednia liczbe, aby w wykladniku takze pojawilo sie n+2
nastepnie zmieniamy granice sumowania od n=0 na n=2 (tylko zmiana napisu)
nastepnie zmieniamy granice sumowania z n=2 na n=1 (nalezy odjac pierwszy wyraz)
nastepnie mamy dwa szeregi postaci 1/(n*a^n)
tworzymy ich funkcje tworząca F(z) = suma z^n/(n*a^n), czyli
suma (z/a)^n / n
nastepnie obserwujemy ze funkcja -ln(1-x) rozwija sie w szereg suma x^n / n
wiec funkcja tworzaca tych szeregow bedzie -ln(1-z/a)
no i bierzemy wartosci funkcji tworzacych w punkcie z=1 aby otrzymac wartosc szeregu.
to tyle, dobrej nocy