[Równania] Układ równań dla wielu niewiadomych

[Fuser]

Zadanie 1.
Rozwiazac w liczbach rzeczywistych uklad rownan. nie wiem jak wogole z tym ruszyc !

\(\displaystyle{ \frac{x_1}{x_1^2}=\frac{x_2}{x_2^2+1}=\ldots=\frac{x_n}{x_n^2+1}}\)
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + ... + x_n + \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n} = \frac{10}{3}}\)

[Uzo]

Ale żadnego układu jak na razie tu nie widzę

[Ziom Ziomisław]

Weź zbuduj wielomian \(\displaystyle{ a(x-a_{1}) * ... * (x-a_{n})}\). I dalej jedziesz ze wzorów Viete'a

[max]

Wystarczy odwrócić stronami pierwsze równanie...
A zadanie drugie masz już rozwiązane w odpowiednim temacie..

[Fuser]

sorry za zdublowane zadanie, co ta matma robi z czlowiekiem nie bardzo rozumiem co da w tym pierwszym zadaniu odwrocenie stronami :-/ moglbys to jakos jasniej nakreslic? pozdrawiam

[Ziom Ziomisław]

2 jak już pisałem można z Viete'a. A co do 1 - pierwszy ułamkiem nie powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \frac{x_1}{x_1^2+1}}\)

[Fuser]

no wlasnie o to chodzi ze nie :-/ i w tym mam caly problem :-/ moje gg 2109030 moglbys napisac? tresc jest na pewno zgodna trzeba rozwiazac taki uklad rownan

[Ziom Ziomisław]

GG nie posiadam to primo.
Co do zadania - odwrucenie daje ci to, że dostajesz:
\(\displaystyle{ x_1 = x_2 + \frac{1}{x_2}}\)
Spełniać to będzie tylko 1 para liczb bo funkcja \(\displaystyle{ x + \frac{1}{x}}\) jest różnowartościowa.
Dalej juz chyba powinno pujść

[Fuser]

ok odwracam pierwsze stronami rozumiem. ale jak w drugim wykorzystac wzory vieta? przeciez to jest chyba ciag i nie wiadomo czy arytmetyczny czy geometryczny :-/ znczy 2 ciagi wiesz o co chodzi. moglbys dokladniej?

[Ziom Ziomisław]

Budujesz sobie taki wielomian jaki napisałam. Jego pierwiastkami są \(\displaystyle{ a_1, a_2, ... a_n}\). I teraz stosujesz wzory Viete'a - np. suma wszytskich pierwistków to \(\displaystyle{ \frac{-b}{a}}\). Parametry wielomianu uzyskasz jak wymnożysz nawiasy. Trochę to twoje równanie poprzekształcać (sume odwrotności do wspólnego mianownika itp.) i wszytko powinno tym sposobem wyjść.

[Fuser]

moglbys opdac ten wielomian? ja wogole nie rozumiem o co ci chodzi :-/

[Ziom Ziomisław]

Wielomian masz w moim piewszym poście. Ogólnie sposób nie należy do standarowych i nie gwarantuje czy to zadanko by nim poszło. Spróbuje pomysleć nad czymś innym, albo to rozpisać. Ale jak już to jutro, na dziś wymiekam

[Fuser]

kurcze ja to mam na jutro. dalbys rade tak do 11:40? licze na ciebie :-D ale jak ten wielomian by wygladac? skad tam to a . napisz tylko to !

[max]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_{1} = x_{2} + \frac{1}{x_{2}} = \ldots = x_{n} + \frac{1}{x_{n}}\\
x_{1} + \frac{1}{x_{1}} + x_{2} + \frac{1}{x_{2}} + \ldots + x_{n} + \frac{1}{x_{n}} = \frac{10}{3}
\end{array}\right.}\)

Podstawiamy do drugiego równania to co mamy z pierwszego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x_{1} + \frac{1}{x_{1}} + (n - 1)x_{1} = \frac{10}{3}}\)
No i widzimy, że \(\displaystyle{ x_{1}}\) musi być dodatnie, ale wtedy:
\(\displaystyle{ x_1 + \frac{1}{x_1} \geqslant 2}\)
stąd:
\(\displaystyle{ (n - 1)x_1 \leqslant \frac{4}{3}}\)
zatem (sensowne wydaje mi się założenie, że n naturalne i nie mniejsze od dwóch):
\(\displaystyle{ x_1 \leqslant \frac{4}{3}}\)
wtedy z pierwszego równania mamy \(\displaystyle{ x_{2} > 0}\) oraz:
\(\displaystyle{ x_{2} + \frac{1}{x_{2}} \leqslant \frac{4}{3} < 2}\)
sprzeczność, ergo równanie nie ma zadowalających nas rozwiązań.


oczywiste jest, że \(\displaystyle{ x + \tfrac{1}{x} \geqslant 2}\) dla \(\displaystyle{ x > 0}\), ponieważ dla x dodatnich:
\(\displaystyle{ (x - 1)^{2} \geqslant 0\\
x^{2} - 2x + 1 \geqslant 0\\
x - 2 + \tfrac{1}{x} \geqslant 0\\
x + \tfrac{1}{x} \geqslant 2}\)

...a funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x + \frac{1}{x}}\) nie jest różnowartościowa (\(\displaystyle{ f(x) = f(\tfrac{1}{x})}\))

[Fuser]

rozwiazac w liczbach rzeczywistych