(3 zadania) Wyznacz współczynniki. Wyznacz funkcje.

sarenka · Post autor: **sarenka** » 28 cze 2004, o 14:06

1) Wyznaczyc liczby \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) tak, aby liczba \(\displaystyle{ 3}\) była dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^3-5x^2+px+q}\).

2)wyznaczyć współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) funkcji \(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx- \frac{3}{4}}\) wiedząc, że osiąga ona wartość najmniejszą dla \(\displaystyle{ x=1}\) i pkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (5,3)}\) należy do jej wykresu.

3)Funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c,\ a \neq 0}\); o współczynnikach całkowitych ma dokładnie 1 miejsce zerowe. Wyznaczyć te funkcje jeżeli wiadomo, że do jej wykresu należą pkt \(\displaystyle{ (0,2)}\) i \(\displaystyle{ (4,50)}\).

Z góry dzięki za pomoc

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 28 cze 2004, o 14:16

Podziel ten wielomian przez \(\displaystyle{ (x-3)}\) i na końcu otrzymasz \(\displaystyle{ q+3(p-6)}\) i to ma być równe \(\displaystyle{ 0}\), aby wielomian miał pierwiastek równy \(\displaystyle{ 3}\), teraz otrzymany wielomian znowu dzielisz przez \(\displaystyle{ (x-3)}\) i otrzymasz \(\displaystyle{ p-3=0}\)

Rozwiązujesz układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} q+3p=18 \\ p=3 \end{cases}}\)

otrzymasz

\(\displaystyle{ x^3-5x^2+3x+9}\)

sarenka · Post autor: **sarenka** » 28 cze 2004, o 16:20

dzieki, to 1 mam z głowy, a 2 pozostale potrafi ktos zrobic??

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 28 cze 2004, o 16:53

AD 2

możemy ułożyć układ równań.

wiemy, że punkt \(\displaystyle{ (5,3)}\) należy do wykresu czyli podkładamy \(\displaystyle{ y=3}\) i \(\displaystyle{ x=5}\)
(chyba ze to trzeba na odwrót :]) i mamy
\(\displaystyle{ 25a+5b=3,75}\)
a drugie równanie mamy stąd, że \(\displaystyle{ x}\) minimalne liczymy tak:
\(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}}\)
czyli mamy
\(\displaystyle{ b=-2a}\)

no i powstanie układ który łatwo policzyć :]

AD 3

znowu układ powstanie :]
wiesz ze punkty wspólne z wykresem to \(\displaystyle{ (0,2)}\) i \(\displaystyle{ (4,50)}\) czyli wiesz ile wynosi \(\displaystyle{ x,y}\) i już masz 2 równania
z pierwszego obliczysz \(\displaystyle{ c}\) (podstawisz \(\displaystyle{ y=2}\) i \(\displaystyle{ x=0}\)) a z drugiego powstanie ci układ \(\displaystyle{ 8a+2b=24}\)(podstawiasz \(\displaystyle{ x=4}\) i \(\displaystyle{ y=50}\)) no to zostaje jeszcze znaleźć 1 równanie.
wiesz, że funkcja ma tylko 1 miejsce zerowe czyli delta musi być równa 0 :]

wzór na deltę to \(\displaystyle{ b^-4ac}\) czyli kolejnym równaniem jest
\(\displaystyle{ b^2=8a}\)
połącz te 3 równania w układ równań i dzięki temu obliczysz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

mi wyszły 2 wyniki
\(\displaystyle{ 4,5}\) i \(\displaystyle{ -6}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 4}\) :]

sarenka · Post autor: **sarenka** » 28 cze 2004, o 18:55

w tym 3 nie bardzo wiem co się stało z deltą. Co tam podstawiłeś, że wyszło \(\displaystyle{ b^2=8a}\)???

sarenka · Post autor: **sarenka** » 28 cze 2004, o 18:56

łoo matko, sorka to chwilowe zaćmienie

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 28 cze 2004, o 18:58

sarenka czyli juz wiesz ??

a i tak dla ułatwienia i Tobie i nam

jak chesz zaznaczyć np 3 do potegi 5 to piszesz
3^5

^ oznacza do potegi

sarenka · Post autor: **sarenka** » 28 cze 2004, o 19:09

wspólczynniki maja byc całkowite wiec 2 i 4, super dzieki!!

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 28 cze 2004, o 19:16

no niedoczytałem tego :] ale wszyło

mateo2222 · Post autor: **mateo2222** » 15 mar 2009, o 00:41

jak w tym zadaniu 1 otrzymała/eś \(\displaystyle{ p-3=0}\) ? Piszesz, że jeszcze raz dzielisz przez \(\displaystyle{ (x-3)}\) a gdzie się podziało \(\displaystyle{ q}\) ?

shus · Post autor: **shus** » 18 mar 2009, o 14:47

Zad. 1

tam nie dzieli tylko poprostu tworzy z tego pochodna, bo " Jeśli a jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu W, to a jest także pierwiastkiem pochodnej wielomianu W "

układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} w(3) = 0 \\ W^| (3) = 0 \end{cases}}\)

oto chodzi

damianstelma1 · Post autor: **damianstelma1** » 24 kwie 2011, o 21:07

Witam, ja mam jeszcze pytanie do pierwszego zadania.
Otóż, skoro 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) to dzieli się on bez reszty przez x-3 . z Hornera wyszło:
\(\displaystyle{ 3(p-6)+q=0}\)
I jak dobrze rozumiem powyższe równanie mówi tylko tyle, że 3 jest jednym z pierwiastków W(x).
Jak to dalej ruszyć nie używając pochodnych ? O ile się da oczywiście.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 24 kwie 2011, o 21:22

Poczytaj drugi post.

Ps. Przy podchwytliwych zadaniach warto sprawdzić czy nie jest potrójnym - bo wtedy nie jest podwójnym.

damianstelma1 · Post autor: **damianstelma1** » 24 kwie 2011, o 22:50

ok dzięki. teraz dopiero zauważyłem że go trzeba jeszcze raz podzielić i słuszna uwaga z tym potrójnym pierwiastkiem - trzeba się pilnować.

pozdrawiam

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 12 sie 2011, o 19:20

Zlodiej pisze: mi wyszły 2 wyniki
\(\displaystyle{ 4,5}\) i \(\displaystyle{ -6}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 4}\) :]

Jednak tylko jeden jest poprawny, mają być współczynniki dodatnie.

Co do 3) można zauważyć, że ta funkcja będzie miała postać \(\displaystyle{ f(x)=a\left(x+ \sqrt{ \frac{c}{a} }\right)^2}\) i będą dwa równania w układzie.