Granice ciągów, zbieżność szeregów

supermario82 · Post autor: **supermario82** » 21 mar 2007, o 23:15

Witam! To mój pierwszy temat na tym forum i zarazem początki maty z prawdziwego zdarzenia
Mam problem z tymi zadankami - nie mam pojęcia gdzie jakie kryterium zastosować...
No i dalej jak to poprzekształcać krok po kroku żeby dojść do końcowych wyników?
Wiem że to dla Was starych wyjadaczy łatwizna, ale ja dopiero zaczynam
Żadna książka nie jest w stanie mi pomóc tak jak to forum, dlatego PROSZĘ o pomoc!
Będę baaardzo wdzięczny!
supermario82

1) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{4n^{2}+2n-1}{3n^{2}+2}}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2^{n}+5^{n}}}\)

3) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{2n+1}}\)

4) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{(n+1)!}}\)

5) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}}\)

Temat poprawiłem. Zapoznaj się z regulaminem, Lorek.

Rafal88K · Post autor: **Rafal88K** » 21 mar 2007, o 23:21

1)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{4n^{2} + 2n - 1}{3n^{2} + 2} = \lim_{x\to\infty} \frac{n^{2}(4 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}})}{n^{2}(3 + \frac{2}{n^{2}})} = \frac{4}{3}}\)

koooala · Post autor: **koooala** » 22 mar 2007, o 13:25

2) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\sqrt[n]{2^{n}+5^{n}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{5^n}\leq\sqrt[n]{2^{n}+5^{n}} q\sqrt[n]{5^n+ 5^n}}\)

\(\displaystyle{ 5=\sqrt[n]{5^n}\leq\sqrt[n]{2^{n}+5^{n}} q\sqrt[n]{5^n+ 5^n}=5\sqrt[n]{2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\sqrt[n]{2}=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\sqrt[n]{2^{n}+5^{n}}=5}\)

3) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{2n+1}=(1+\frac{1}{n})[(1+\frac{1}{n})^n]^2=1\cdot e^2=e^2}\)

supermario82 · Post autor: **supermario82** » 23 mar 2007, o 00:06

No pierwsze to rozumiem - łatwizna, ale dalej to już się poddaje
z jakich własności/wzorów korzystałeś? Dzięki bardzo za pomoc

Post poprawiłem - powinno być oczywiście \(\displaystyle{ {n\to\infty}}\) w pierwszych zadaniach, a nie \(\displaystyle{ {x\to\infty}}\)

koooala · Post autor: **koooala** » 23 mar 2007, o 01:00

w 2 skorzystałem z twierdzenia o 3 ciagach, \(\displaystyle{ a_n}\)

supermario82 · Post autor: **supermario82** » 23 mar 2007, o 08:50

koooala dzięki za wytłumaczenie
No to jedyneczkę i trójeczkę mam opanowaną perfect...
Ciekawe kto da radę szeregom?

Post autor: **Tomasz Rużycki** » 23 mar 2007, o 13:42

Szeregi z porownawczego.

Np. piaty - zauwaz, ze wykladnicza rosnie szybciej niz wielomianowa, wiec od pewnego miejsca mamy \(\displaystyle{ 2^n>n^3}\) (dla \(\displaystyle{ n=10}\) juz sie np. zgadza ;]), wiec \(\displaystyle{ \frac{n}{2^n}n^3}\).

Powyzsze nierownosci udowodnij sobie sam indukcyjnie.

supermario82 · Post autor: **supermario82** » 23 mar 2007, o 23:27

ekhm... No jasne przecież to proste
No cóż - leżę z podstawami, kryterium porównawcze hmmm...
Może ktoś rozpisze "łopatologicznie" zadanko 4 i 5 ?
Dzięki wszystkim za pomoc

Post autor: **bolo** » 23 mar 2007, o 23:53

Piąte najlepiej z pierwiastkowego.