Obliczanie niepewności pomiarowej - wahadło mat.

[Grauko]

Witam.

Mam mały problem z dokończeniem sprawozdzania. Moim zadaniem było obliczenie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła matematycznego.
Dokładniej chodzi mi o 'dyskusję' nt. niepewności pomiarowej. Czy ktoś kto miał takie fajne rzeczy np. w szkole średniej mógłby mi powiedzieć czy kieruję się w dobrą stronę ?

Wzór na wahadło mat.: \(\displaystyle{ T=2\pi\sqrt\frac{l}{g}}\)

Wzór na przyspieszenie ziemskie w ruchu harmonicznym: \(\displaystyle{ g=\frac{4\pi^2l}{T^2}}\)

Okres drgań wahadła: \(\displaystyle{ T=\frac{t}{n}}\),

a łącząc ostatnie dwa wzory możemy uzyskać: \(\displaystyle{ g=\frac{4\pi^2ln^2}{t^2}}\)


====> I teraz, czy za pomocą pochodnych można dojśc do tego typu rzeczy ??
\(\displaystyle{ g=g_{srednie} + \Delta g}\) , \(\displaystyle{ \Delta g= +/- 0,1 \frac{m}{s^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac {\Delta g}{g_{srednie}} = \frac {\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta t}{t}}\) ??

A wtedy \(\displaystyle{ \Delta g= g_{srednie} (\frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta t}{t})}\) ?
--------
\(\displaystyle{ \Delta l}\) niepewność z jaką zmierzono długość linki (np. \(\displaystyle{ +/- 5 mm}\))
\(\displaystyle{ \Delta t}\) różnica czasu (np. późniejsze wyłączenie czasomierza \(\displaystyle{ +/- 2 s}\))
\(\displaystyle{ \Delta g}\) różnica między pomiarami

[grandslam]

według mnie przy obliczaniu \(\displaystyle{ \delta g}\) na koncu musisz pomnozyc przez 100%
czyli
\(\displaystyle{ \frac{\Delta g}{g_{srednie}}=(\frac{\Delta l}{l}+\frac{\Delta t}{t}) \cdot 100 \%}\)

[PawelJan]

Korzystając z prawa przenoszenia niepewności, o ile niepewności wyznaczenia czasu i długości są niezależne (a raczej są), to
\(\displaystyle{ \Delta g=\sqrt{\left(\frac{\partial g}{\partial t}\Delta t \right)^2+\left(\frac{\partial g}{\partial l}\Delta l \right)^2}=\sqrt{\left(-\frac{2\cdot 4\pi ^2n^2 l}{t^3}\Delta t \right)^2+\left(\frac{4\pi ^2n^2}{t^2}\Delta l \right)^2} \\ \Delta g=g\sqrt{\left(2\frac{\Delta t}{t} \right)^2+\left(\frac{\Delta l}{l} \right)^2} \\ ft(\frac{\Delta g}{g} \right)^2=\left(2\frac{\Delta t}{t} \right)^2+\left(\frac{\Delta l}{l} \right)^2}\)

[Grauko]

Dzięki za pomoc. Myślałem, że takie coś wystarczy, a tu trzeba dokładnie od początku za pomocą różniczek wyliczyć i dojść do tego wzoru końcowego. Próbowałem coś za pomocą 'różniczki zupełnej funkcji dwu zmiennych':

\(\displaystyle{ f(x_{0} + \Delta x, y_{0} +\Delta y)= f(x_{0}, y_{0}) + \frac{\partial f(x_{0}, y_{0})}{\partial {x}}\Delta x + \frac{\partial f(x_{0}, y_{0})}{\partial y}\Delta y}\)

Ale jakoś nie idzie (bo pewnie nie potrzebnie tak motam). Jak ktoś miałby może książkę o badaniu niepewności pomiarowej niech poda tytuł

[PawelJan]

Metoda różniczki zupełnej - proszę bardzo, dobrze napisałeś, przenosisz \(\displaystyle{ f(x_0,y_0)}\) na lewo otrzymując po lewej \(\displaystyle{ \Delta f}\), zaś po prawej zostaje Ci suma taka, jaką widzisz, tyle że pochodne cząstkowe będą w modułach (niepewności nie zniosą się).