Ideały Pierścienia - zadania

[andzior]

Mam problem z kilkoma zadniami z ćwiczeń.

Polecenie do zadań 1-3: Sprawź czy poniższe zbiory są ideałami w pierścieniu P.

zadanie 1
\(\displaystyle{ P=R^{[a,b]}}\)
a) \(\displaystyle{ I_{1}=\lbrace f P: 2f(a)=f(b)\rbrace}\)
b) \(\displaystyle{ I_{2}=\lbrace f P: f(a)+f(b)=1\rbrace}\)

zadanie 2
\(\displaystyle{ P=R^{n}}\) - ciągi zbieżne

a) ciągi zbieżne
b) ciągi zbieżne do 0

zadanie 3
\(\displaystyle{ P=2^{x}, X\neq 0, (2^{x}, \div, \cap)}\)
\(\displaystyle{ A \div B=(A \backslash B) \cup (B \backslash A)=(A \cup B) \backslash (A \cap B)}\)
Jeżeli I jest ideałem to znajdź jego generator.
a) \(\displaystyle{ I_{1}=\lbrace A X, x_{0} X, x_{0} \not\in X \rbrace}\)
b) \(\displaystyle{ I_{2}=\lbrace A X, A \cap B=\emptyset \rbrace}\)

Zadanie 4 (z dwiema gwiazdkami)

Pokazać, że jedynymi ideałami obustronnymi w \(\displaystyle{ M_{2}(R)}\) są \(\displaystyle{ \lbrace 0 \rbrace \ i \ M_{2}(R)}\)

[grzesuav]

ad 1 b)
mi się wydaje że nie, weźmy \(\displaystyle{ f, g I_2,}\)
Niech : \(\displaystyle{ h:=f+g, h(a) + h(b) = f(a) + g(a) + f(b) + g(b) = 2}\), zatem suma dwóch elementów z podzbioru do niego nie należy, zatem to nie jest ideał

ad 2 jeśli bierzemy tylko ciągi zbieżne to w a) ten zbiór to cały pierścień, nie ma czego dowodzić
a w b) korzystamy z tego że iloczyn ciągi zbieżnego z ciągiem ograniczonym też jest zbieżny do zera.

ad 3 ) w a) masz coś nie tak w definicji ideału
w b) czy ten zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest ustalony ?

[andzior]

Dziękuje za pomoc w zadaniu 1 i 2
Przepraszam ale pomyliłem się kąpletnie w tym trzecim zadaniu.

Poprawione zadanie 3

\(\displaystyle{ P=2^{x}, X\neq 0, (2^{x}, \div, \cap)}\)
\(\displaystyle{ A \div B=(A \backslash B) \cup (B \backslash A)=(A \cup B) \backslash (A \cap B)}\)
Jeżeli I jest ideałem to znajdź jego generator.
a) \(\displaystyle{ I_{1}=\lbrace A X, x_{0} X \rbrace}\)
b) \(\displaystyle{ I_{1}=\lbrace A X, x_{0} \not\in X \rbrace}\)