[Planimetria] Trójkąt i okrąg opisany

[kimilo]

Punkt D jest takim punktem boku AB trójkąta ABC ze \(\displaystyle{ 3 |AD| = |BD|}\). Punkt E jest takim punktem łuku AC okręgu opisanego na trójkącie ABC, nie zawierającym punktu B, ze \(\displaystyle{ \angle ADE = \angle ACB}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ 2 |DE|=|EB|}\).

[limes123]

Wystarczy przez A poprowadzic styczna do naszego okregu. Latwo zauwazyc, ze jest ona rownlolegla do DE i tu ze zwyklego podobienstwa otrzymamy, ze rownosc w zadaniu jest rownowazna temu, ze
XA=2XE, gdzie X jest punktem przeciecia BE z naszą prostą, a ta równość wynika z tego, ze
\(\displaystyle{ XA^2=XE\cdot XB\iff XA^2=4XE^2\iff XA=2XE}\) cdk