indukcja - nierówność

[prymas]

Witam, mogłby mi ktoś pomóc udowodnić taką nierówność ?

\(\displaystyle{ n!>=e(\frac{n}{e})^n}\)

[Tristan]

1. Spr. dla \(\displaystyle{ n=1}\):
\(\displaystyle{ L=1!=1; P= e ( \frac{1}{e})^1=\frac{e}{e}=1 \\L q P}\)
2. Zał. ind.: \(\displaystyle{ k! q e ( \frac{k}{e})^k}\)
Teza ind.: \(\displaystyle{ (k+1)! q e ( \frac{k+1}{e} )^{k+1}}\)
D-d:
\(\displaystyle{ (k+1)!=k!(k+1) q e ( \frac{k}{e})^k (k+1)}\)
(?) \(\displaystyle{ e ( \frac{k}{e})^k (k+1) q e ( \frac{k+1}{e} )^{k+1}}\)
(?) \(\displaystyle{ ( \frac{k}{e})^k (k+1) q ( \frac{k+1}{e})^k \frac{k+1}{e}}\)
(?) \(\displaystyle{ e ( \frac{k}{e})^k q ( \frac{k+1}{e})^k}\)
(?) \(\displaystyle{ e^{k+1} k^k q (k+1)^k}\)
(?) \(\displaystyle{ e^{k+1} q ( \frac{k+1}{k} )^k= ( 1+ \frac{1}{k} )^k}\)
Ponieważ ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=(1 + \frac{1}{n})^n}\) jest rosnący, a jego granicą jest właśnie \(\displaystyle{ e}\), więc \(\displaystyle{ ( 1+ \frac{1}{k} )^k q e q e^{k+1}}\), bo \(\displaystyle{ k q 1}\). Ze względu na fakt, że wcześniejsze przekształcenia były równoważne, teza została wykazana.
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana nierówność prawdziwa jest dla każdej dodatniej liczby naturalnej.