[Nierówności] Nierówność przy parametrach a,b

[mol_ksiazkowy]

Tym razem trzeba znalezc mozliwie najmniejsza liczbe dodatnia a, dla której bedzie istniec pewna l. b, takze wieksza od zera ....i taka iz bedzie miec miejsce ta nierówność :

\(\displaystyle{ \sqrt{1+x} +\sqrt{1-x} \leq 2- \frac{x^a}{b}, \ x \in \langle 0, 1 \rangle}\)

[przemk20]

To nie to, :mad:

[mol_ksiazkowy]

?

[max]

\(\displaystyle{ \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} \leqslant 2 - \frac{x^{a}}{b}}\)
Dla \(\displaystyle{ x = 0}\) oczywiście zachodzi równość niezależnie od \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
Dla \(\displaystyle{ x \in (0, 1\rangle}\) badana nierówność jest równoważna poniższej:
\(\displaystyle{ b \geqslant \frac{x^{a}}{2 - \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 + x}}}\)

Teraz wystarczy znaleźć najmiejszą wartość \(\displaystyle{ a > 0}\), taką, że funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^{a}}{2 - \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 + x}}, \ x\in (0, 1\rangle}\)
jest ograniczona. Ponieważ funkcja ta jest ciągła to wystarczy zbadać jej ograniczoność w każdym (dowolnie małym) prawostronnym otoczeniu liczby \(\displaystyle{ 0}\)

Mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}}f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{a}}{2 - \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 + x}} = \\
= \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{a}(2 + \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x})}{2 - 2\sqrt{1 - x^{2}}} = \\
= \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{a}(2 + \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x})(1 + \sqrt{1 - x^{2}})}{2x^{2}} =\\
= \left\{\begin{array}{l} +\infty, \ a < 2 \\ 4, \ a = 2 \\ 0, \ a > 2 \end{array}\right.}\)

Zatem poszukiwana wartość to \(\displaystyle{ a = 2}\)

[edit]
ciekawe czy kiedyś nauczę się liczyć...

[Tristan]

Dla x=1 wartość a również jest dowolna.

[max]

Oczywiście masz rację, ale ja zrozumiałem zadanie tak, że mamy wyznaczyć \(\displaystyle{ a > 0}\), takie, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \langle 0, 1\rangle}\) istnieje \(\displaystyle{ b > 0}\), dla którego zachodzi nierówność... a nie, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in \langle 0, 1\rangle}\) mamy wyznaczyć \(\displaystyle{ a}\)

[mol_ksiazkowy]

max napisał:

Teraz wystarczy znaleźć najmiejszą wartość \(\displaystyle{ a > 0}\), taką, że funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^{a}}{2 - \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 + x}}, \ x \in (0, 1\rangle}\)
jest ograniczona. Ponieważ funkcja ta jest ciągła to wystarczy zbadać jej ograniczoność w każdym (dowolnie małym) prawostronnym otoczeniu liczby \(\displaystyle{ 0}\)

yyyy, ciu t sie zgubiłem czemu to wystarczy , a co z zachowaniem sie funkcji gdy x jest bliskie jedynki...? rozw idzie w dobrym kierunku, ale coś chyba jeszce brak i takze nalezy wzynaczyc min watosc stałej b, a wiec uzyskac szacowanie.......

[max]

max napisał:

Teraz wystarczy znaleźć najmiejszą wartość \(\displaystyle{ a > 0}\), taką, że funkcja:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^{a}}{2 - \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 + x}}, \ x\in (0, 1\rangle}\)
jest ograniczona. Ponieważ funkcja ta jest ciągła to wystarczy zbadać jej ograniczoność w każdym (dowolnie małym) prawostronnym otoczeniu liczby \(\displaystyle{ 0}\)

yyyy, ciu t sie zgubiłem czemu to wystarczy , a co z zachowaniem sie funkcji gdy x jest bliskie jedynki...? rozw idzie w dobrym kierunku, ale coś chyba jeszce brak i takze nalezy wzynaczyc min watosc stałej b, a wiec uzyskac szacowanie.......

to wystarczy, bo jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ograniczona, to za \(\displaystyle{ b}\) będziemy mogli obrać jedno z jej górnych ograniczeń (w zasadzie chodzi tylko o ograniczenie z góry, ale ta funkcja jest, przy założeniach zadania, ograniczona od dołu).
Ponadto jest to również konieczne, bo jeśli ta funkcja nie miałaby ograniczenia górnego, to dla każdej wartości \(\displaystyle{ b}\) istniałoby takie \(\displaystyle{ x (0, 1\rangle}\), że nierówność byłaby nieprawdziwa.

badamy tylko \(\displaystyle{ x}\) bliskie lewemu kresowi określoności, bo z prawej strony przedział będący dziedziną jest domknięty, a funkcja ciągła, określona w przedziale domkniętym jest ograniczona.

w treści zadania nie było nic o wyznaczaniu minimalnej wartości \(\displaystyle{ b}\), wydaje mi się, że wystarczy udowodnić, że istnieje... ale znając \(\displaystyle{ a = 2}\) mamy:
\(\displaystyle{ b \leqslant f(x) = \frac{x^{2}}{2 - \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 + x}}}\)
i można znaleźć kres górny zbioru wartości po prawej (\(\displaystyle{ 4}\), bo korzystając z już wykonanych przekształceń można wykazać, że funkcja jest malejąca)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ 2- \frac{x^2}{4}-\frac{x^3}{2} \leq \sqrt{1+x} +\sqrt{1-x} \leq 2- \frac{x^2}{4}, \ x \in }\)